Determine a transformada de Fourier das seguintes funções
.
Passo 1
Então, você quer encontrar a transformada de Fourier da função
. Vamos usar conceitos de transformadas de Fourier, que nos ajudam a transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para isso, vamos precisar completar o quadrado no denominador e usar uma fórmula padrão da transformada de Fourier para funções do tipo
.
Passo 2
Primeiro, vamos completar o quadrado no denominador da função
. Temos:
Agora, a função fica:
Passo 3
Sabemos que a transformada de Fourier de
é dada por:
No nosso caso,
, logo
.
Passo 4
Além disso, como temos
no denominador, isso implica um deslocamento na frequência. A propriedade da transformada de Fourier nos diz que:
Aqui,
, então a transformada de Fourier da nossa função será multiplicada por
.
Passo 5
Aplicando essas informações, substituímos
na fórmula da transformada de Fourier e consideramos o deslocamento:
Resposta
A transformada de Fourier da função
é: