Determine a transformada de Fourier das seguintes funções f: R -> R.
f(x) = 1/(x^2 + 6x + 13)

Passo 1

Então, você quer encontrar a transformada de Fourier da função . Vamos usar conceitos de transformadas de Fourier, que nos ajudam a transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para isso, vamos precisar completar o quadrado no denominador e usar uma fórmula padrão da transformada de Fourier para funções do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado no denominador da função . Temos:
Agora, a função fica:

Passo 3

Sabemos que a transformada de Fourier de é dada por:
No nosso caso, , logo .

Passo 4

Além disso, como temos no denominador, isso implica um deslocamento na frequência. A propriedade da transformada de Fourier nos diz que:
Aqui, , então a transformada de Fourier da nossa função será multiplicada por .

Passo 5

Aplicando essas informações, substituímos na fórmula da transformada de Fourier e consideramos o deslocamento:

Resposta

A transformada de Fourier da função é:

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