Determine a transformada de Fourier das seguintes funções f: R -> R.
f(x) = e^(-|x|) cos(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, o enunciado pede para encontrar a transformada de Fourier da função . Estamos lidando com transformadas de Fourier aqui, que é uma ferramenta matemática usada para transformar uma função do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades das transformadas de funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Vamos começar lembrando que a transformada de Fourier de uma função é dada por:
No nosso caso, . A ideia é escrever a função de uma forma que facilite a aplicação da transformada.

Passo 3

Sabemos que pode ser expressa usando exponenciais complexas:
Então, podemos reescrever como:

Passo 4

Agora, vamos lembrar que a transformada de Fourier de é:
onde . No nosso caso, temos duas funções com e .

Passo 5

Aplicando a propriedade da linearidade da transformada de Fourier, temos:
Usando a fórmula da transformada de , substituímos por e .

Passo 6

Calculando cada transformada:
Agora, vamos simplificar os denominadores.

Passo 7

Calculando os denominadores:
Então, as transformadas ficam:

Passo 8

Agora, somamos as duas transformadas e multiplicamos por :
Simplificando, fica:

Passo 9

Para simplificar ainda mais, vamos combinar as frações:
Expandindo o numerador:
Lembrando que , simplificamos:
Então, a transformada fica:

Resposta

A transformada de Fourier da função é:

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