Determine a transformada de Fourier das seguintes funções
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, o enunciado pede para encontrar a transformada de Fourier da função
. Estamos lidando com transformadas de Fourier aqui, que é uma ferramenta matemática usada para transformar uma função do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as propriedades das transformadas de funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Vamos começar lembrando que a transformada de Fourier de uma função
é dada por:
No nosso caso,
. A ideia é escrever a função
de uma forma que facilite a aplicação da transformada.
Passo 3
Sabemos que
pode ser expressa usando exponenciais complexas:
Então, podemos reescrever
como:
Passo 4
Agora, vamos lembrar que a transformada de Fourier de
é:
onde
. No nosso caso, temos duas funções com
e
.
Passo 5
Aplicando a propriedade da linearidade da transformada de Fourier, temos:
Usando a fórmula da transformada de
, substituímos
por
e
.
Passo 6
Calculando cada transformada:
Agora, vamos simplificar os denominadores.
Passo 7
Calculando os denominadores:
Então, as transformadas ficam:
Passo 8
Agora, somamos as duas transformadas e multiplicamos por
:
Simplificando, fica:
Passo 9
Para simplificar ainda mais, vamos combinar as frações:
Expandindo o numerador:
Lembrando que
, simplificamos:
Então, a transformada fica:
Resposta
A transformada de Fourier da função
é: