Calcule a convolução de

Passo 1

Beleza! Você quer calcular a convolução das funções . Isso faz parte do estudo de convoluções em cálculo, onde a gente combina duas funções para ver como elas interagem. Para resolver isso, vamos usar a definição de convolução e seguir passo a passo até chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é convolução. A convolução de duas funções e é dada por:
No seu caso, ambas as funções são , então a convolução fica assim:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Multiplicando as exponenciais:
Então, a integral fica:

Passo 4

Como não depende de , podemos tirá-lo da integral:
A integral de de 0 a é simplesmente .

Passo 5

Substituindo de volta:

Resposta

A convolução das funções é:

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Desenvolva em série de Fourier a função abaixo:
Determine a série de Laurent de para cada um dos domínios abaixo: