Determine a série de Laurent de para cada um dos domínios abaixo:

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a série de Laurent para a função no domínio onde . Isso envolve entender séries de Laurent, que são expansões de funções complexas que podem incluir termos de potências negativas de , permitindo representar funções em torno de pontos singulares. Para resolver, vamos precisar decompor a função em frações parciais e expandir cada parte em séries apropriadas para o domínio dado.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a função em frações parciais. Queremos escrever como a soma de duas frações mais simples:
Multiplicando ambos os lados por :
Agora, vamos encontrar os valores de e .

Passo 3

Para encontrar , vamos substituir na equação:
Para encontrar , substituímos :
Então, a decomposição em frações parciais fica:

Passo 4

Agora, vamos expandir cada termo da decomposição em séries de Laurent no domínio .
Primeiro, considere :
Usando a expansão geométrica para (o que é verdade para ):
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos expandir :
Usando a expansão geométrica para (o que é verdade para ):
Portanto:

Passo 6

Finalmente, juntando as duas expansões, temos a série de Laurent para no domínio :

Resposta

A série de Laurent de para é:

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