Resolva aa equação diferencial
usando a técnica da transformada de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial
usando a técnica da transformada de Laplace. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem e Transformadas de Laplace. Vamos precisar aplicar as propriedades da transformada de Laplace para derivadas e resolver a equação no domínio de
.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de
é
, de
é
, e de
é simplesmente
. Como
e
, as equações simplificam.
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace:
Substituindo pelas transformadas:
Simplificando:
Passo 4
Agora, fatoramos
no lado esquerdo:
Para isolar
, dividimos ambos os lados pela expressão quadrática:
Passo 5
Vamos fatorar o denominador
:
Então,
fica:
Passo 6
Para simplificar a inversa da transformada, usamos frações parciais. Escrevemos:
Passo 7
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 8
Escolhemos valores de
que simplificam a equação. Por exemplo,
:
Outro valor,
:
Passo 9
Para encontrar
e
, podemos escolher outro valor, por exemplo,
:
Sabendo que
e
:
Passo 10
Agora, voltamos para a equação original de frações parciais para encontrar
. Expandindo e comparando os coeficientes, encontramos que
.
Passo 11
Com todos os valores de
, temos:
Passo 12
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo:
Resposta
A solução da equação diferencial é: