Resolva aa equação diferencial y'' - 3y' + 2y = 2 cos(x), y(0) = y'(0) = y''(0) = 0 usando a técnica da transformada de Laplace.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a técnica da transformada de Laplace. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem e Transformadas de Laplace. Vamos precisar aplicar as propriedades da transformada de Laplace para derivadas e resolver a equação no domínio de .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de é , de é , e de é simplesmente . Como e , as equações simplificam.

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace:
Substituindo pelas transformadas:
Simplificando:

Passo 4

Agora, fatoramos no lado esquerdo:
Para isolar , dividimos ambos os lados pela expressão quadrática:

Passo 5

Vamos fatorar o denominador :
Então, fica:

Passo 6

Para simplificar a inversa da transformada, usamos frações parciais. Escrevemos:

Passo 7

Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 8

Escolhemos valores de que simplificam a equação. Por exemplo, :
Outro valor, :

Passo 9

Para encontrar e , podemos escolher outro valor, por exemplo, :
Sabendo que e :

Passo 10

Agora, voltamos para a equação original de frações parciais para encontrar . Expandindo e comparando os coeficientes, encontramos que .

Passo 11

Com todos os valores de , temos:

Passo 12

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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