Desenvolva em série de Fourier a função abaixo:

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos desenvolver a série de Fourier para a função , que é periódica com período no intervalo . Para isso, vamos utilizar conceitos de séries de Fourier, que nos permitem representar funções periódicas como somas de funções seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função periódica com período pode ser expressa como:
onde os coeficientes , e são calculados da seguinte forma:

Passo 3

Vamos calcular :
Como é uma função par (simétrica em relação ao eixo y), podemos simplificar a integral:

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Novamente, é par e também é par, então o produto é par. Podemos simplificar:
Para resolver essa integral, usaremos a técnica de integração por partes duas vezes.
Primeira integração por partes:
Aplicando:
Segunda integração por partes para :
Aplicando:
Substituindo de volta:
Avaliando de 0 a :
Sabemos que e , então simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Aqui, é par e é ímpar. O produto de uma função par com uma ímpar é ímpar, e a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero. Portanto:

Passo 6

Com todos os coeficientes calculados, podemos escrever a série de Fourier da função :

Resposta

A série de Fourier da função , definida no intervalo e periodicamente estendida com período , é dada por:

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