Desenvolva em série de Fourier a função abaixo:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos desenvolver a série de Fourier para a função
, que é periódica com período
no intervalo
. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries de Fourier, que nos permitem representar funções periódicas como somas de funções seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função periódica
com período
pode ser expressa como:
onde os coeficientes
,
e
são calculados da seguinte forma:
Passo 3
Vamos calcular
:
Como
é uma função par (simétrica em relação ao eixo y), podemos simplificar a integral:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Novamente,
é par e
também é par, então o produto é par. Podemos simplificar:
Para resolver essa integral, usaremos a técnica de integração por partes duas vezes.
Primeira integração por partes:
Aplicando:
Segunda integração por partes para
:
Aplicando:
Substituindo de volta:
Avaliando de 0 a
:
Sabemos que
e
, então simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Aqui,
é par e
é ímpar. O produto de uma função par com uma ímpar é ímpar, e a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero é zero. Portanto:
Passo 6
Com todos os coeficientes calculados, podemos escrever a série de Fourier da função
:
Resposta
A série de Fourier da função
, definida no intervalo
e periodicamente estendida com período
, é dada por:
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:
e