Calcule as convoluções:
e^(-t) * cos(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a convolução de com . Isso está ligado ao conteúdo de convoluções, que geralmente aparece em sinais e sistemas ou análise de sistemas lineares. Para resolver, a gente vai precisar entender a definição de convolução e como aplicá-la usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é convolução. A convolução de duas funções e é dada por:
Isso basicamente combina as duas funções de uma forma que você pode ver como uma “sobreposição” delas ao longo do tempo.

Passo 3

Agora, aplicando isso às funções que temos: e . Então, a convolução fica:

Passo 4

Vamos simplificar a integral. Podemos usar uma substituição para facilitar. Deixe , então quando , , e quando , . A integral fica:
Simplificando para , temos:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral . Para isso, usamos integração por partes ou reconhecemos que a integral de é .
Então:
Simplificando:

Passo 6

Voltando à expressão da convolução:

Resposta

A convolução de com é:

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