Calcule a transformada inversa de Laplace, usando o Teorema da Convolução.
H(s) = s^2 / (s^2 + k^2)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a transformada inversa de Laplace de usando o Teorema da Convolução. Isso faz parte da matéria de transformadas de Laplace, especificamente lidando com convoluções. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a convolução na transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o Teorema da Convolução nos diz que se , então a transformada inversa de é a convolução das transformadas inversas de e . Ou seja, .

Passo 3

Observando , podemos reescrever isso como . Assim, temos e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as transformadas inversas de e . Sabemos que . Portanto, e .

Passo 5

Com isso, a convolução fica:

Passo 6

Vamos usar a identidade trigonométrica para simplificar a integral:

Passo 7

Vamos separar a integral:

Passo 8

Calculando cada parte:

Passo 9

Substituindo de volta:

Resposta

A transformada inversa de Laplace é:

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