Calcule a transformada inversa de Laplace, usando o Teorema da Convolução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a transformada inversa de Laplace de
usando o Teorema da Convolução. Isso faz parte da matéria de transformadas de Laplace, especificamente lidando com convoluções. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a convolução na transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o Teorema da Convolução nos diz que se
, então a transformada inversa de
é a convolução das transformadas inversas de
e
. Ou seja,
.
Passo 3
Observando
, podemos reescrever isso como
. Assim, temos
e
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as transformadas inversas de
e
. Sabemos que
. Portanto,
e
.
Passo 5
Com isso, a convolução
fica:
Passo 6
Vamos usar a identidade trigonométrica
para simplificar a integral:
Passo 7
Vamos separar a integral:
Passo 8
Calculando cada parte:
Passo 9
Substituindo de volta:
Resposta
A transformada inversa de Laplace é: