Esboce o gráfico e calcule a transformada de Laplace da função periódica.
f(t)=ll t, & 0 <= t<1 0, & 1 <= t<2 T=2 ; Resp F(s)=11-e^-2 s(-e^-ss+1-e^-ss^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Precisamos desenhar o gráfico de uma função periódica e calcular a Transformada de Laplace dela. Para isso, vamos usar conceitos de funções periódicas e da Transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é a função f(t) = t, & 0 <= t < 1 0, & 1 <= t < 2 que temos. Ela é periódica com período e é definida por:
Isso significa que, de 0 a 1, a função cresce linearmente de 0 a 1, e de 1 a 2, a função fica zero. Esse padrão se repete a cada 2 unidades de tempo.

Passo 3

Vamos desenhar o gráfico de c|c|c t & f(t) & Período hline 0 & 0 & Cresce até 1 1 & 1 & Desce para 0 2 & 0 & Repete o ciclo . Para isso, plotamos um período da função, de a , e depois repetimos esse padrão.
  • De a : a função aumenta de 0 a 1, formando uma linha reta com inclinação 1.
  • De a : a função é zero, formando uma linha horizontal.
Depois disso, esse padrão se repete para todos os valores de . O gráfico ficará assim:
íé

Passo 4

Agora, vamos calcular a Transformada de Laplace da função periódica Lf(t) = Lfp(t)1 - e^-sT . Para funções periódicas, usamos a seguinte fórmula da Transformada de Laplace:
Aqui, é a função definida em um período, ou seja, de a (neste caso, ).

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar a Transformada de Laplace da função fp(t) = t, & 0 <= t < 1 0, & 1 <= t < 2 no intervalo de Lfp(t) = integral0^1 t e^-st , dt a :
A Transformada de Laplace de é dada por:

Passo 6

Vamos calcular essa integral:
Lfp(t) = integral0^1 t e^-st , dt
Usando integração por partes, onde du = dt e v = -1s e^-st e Lfp(t) = -ts e^-st |0^1 + 1s integral0^1 e^-st , dt , temos:
-1s e^-s + 0 + 1s ( 1 - e^-ss ) = -e^-ss + 1 - e^-ss^2
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Calculando os limites:

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da Transformada de Laplace para funções periódicas:
Lf(t) = Lfp(t)1 - e^-sT
Substituindo Lf(t) = -e^-ss + 1 - e^-ss^21 - e^-2s e a expressão que encontramos para :

Resposta

A Transformada de Laplace da função periódica é:
F(s) = 11 - e^-2s ( -e^-ss + 1 - e^-ss^2 )

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