Esboce o gráfico e calcule a transformada de Laplace da função periódica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Precisamos desenhar o gráfico de uma função periódica e calcular a Transformada de Laplace dela. Para isso, vamos usar conceitos de funções periódicas e da Transformada de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é a função que temos. Ela é periódica com período e é definida por:
Isso significa que, de 0 a 1, a função cresce linearmente de 0 a 1, e de 1 a 2, a função fica zero. Esse padrão se repete a cada 2 unidades de tempo.
Passo 3
Vamos desenhar o gráfico de . Para isso, plotamos um período da função, de a , e depois repetimos esse padrão.
De a : a função aumenta de 0 a 1, formando uma linha reta com inclinação 1.
De a : a função é zero, formando uma linha horizontal.
Depois disso, esse padrão se repete para todos os valores de . O gráfico ficará assim:
Passo 4
Agora, vamos calcular a Transformada de Laplace da função periódica . Para funções periódicas, usamos a seguinte fórmula da Transformada de Laplace:
Aqui, é a função definida em um período, ou seja, de a (neste caso, ).
Passo 5
Primeiro, vamos encontrar a Transformada de Laplace da função no intervalo de a :
A Transformada de Laplace de é dada por:
Passo 6
Vamos calcular essa integral:
Usando integração por partes, onde e , temos:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Calculando os limites:
Passo 7
Agora, aplicamos a fórmula da Transformada de Laplace para funções periódicas:
Lf(t) = Lfp(t)1 - e^-sT
Substituindo Lf(t) = -e^-ss + 1 - e^-ss^21 - e^-2s e a expressão que encontramos para :