Use transformada de Laplace para resolver os PVI.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou é sobre Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem e vamos resolver usando a Transformada de Laplace. Precisamos encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial
com as condições iniciais
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A Transformada de Laplace transforma uma função no domínio do tempo para o domínio da frequência, o que facilita resolver a equação diferencial.
Aplicando a transformada:
Passo 3
Sabemos que:
Substituindo os valores das condições iniciais (
,
):
Passo 4
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, precisamos fazer a decomposição em frações parciais para facilitar a inversão da Transformada de Laplace. Vamos supor que:
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo:
Igualando os coeficientes:
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Passo 7
Agora, substituímos os valores de
e
na expressão da Transformada:
Simplificando:
Passo 8
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace. Sabemos que:
Aplicando isso às frações:
Simplificando: