Use transformada de Laplace para resolver os PVI.
y'' + y = sen(3t), y(0) = 0, y'(0) = 0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou é sobre Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem e vamos resolver usando a Transformada de Laplace. Precisamos encontrar a função que satisfaz a equação diferencial com as condições iniciais e .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A Transformada de Laplace transforma uma função no domínio do tempo para o domínio da frequência, o que facilita resolver a equação diferencial.
Aplicando a transformada:

Passo 3

Sabemos que:
Substituindo os valores das condições iniciais ( , ):

Passo 4

Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Passo 5

Agora, precisamos fazer a decomposição em frações parciais para facilitar a inversão da Transformada de Laplace. Vamos supor que:
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo:
Igualando os coeficientes:

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,

Passo 7

Agora, substituímos os valores de e na expressão da Transformada:
Simplificando:

Passo 8

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace. Sabemos que:
Aplicando isso às frações:
Simplificando:

Resposta

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