Calcule as convoluções:
;
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para calcular a convolução entre as funções
e
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo de Convoluções, que envolve integrar o produto de duas funções com um deslocamento. Para resolver, vamos precisar saber como aplicar a definição de convolução e utilizar integrais. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a convolução de duas funções. A convolução de
e
é definida por:
No nosso caso,
e
. Então, substituindo na definição:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a integral. Já que
multiplicado por qualquer coisa é o próprio algo, temos:
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição. Vamos deixar
, então quando
,
, e quando
,
. Também temos
. Ajustando os limites e a integral:
Passo 4
Agora, a integral ficou mais simples:
Essa é uma integral básica de potência. A antiderivada de
é
. Então, avaliando de
a
:
Resposta
A convolução
é igual a
.