Calcule a transformada inversa de Laplace.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada inversa de Laplace. A gente precisa encontrar a função no tempo
que corresponde à transformada de Laplace dada:
Para isso, vamos usar conhecimentos sobre transformadas de Laplace, especialmente as propriedades de deslocamento no tempo e a identificação de funções padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração para identificar uma forma conhecida. Observa aí:
Podemos completar o quadrado para reescrever isso de uma maneira mais fácil de trabalhar:
Agora, a expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a transformada de Laplace da função
é
. Mas aqui temos um
, que está relacionado ao deslocamento no tempo. Na verdade, a propriedade que vamos usar é:
Onde
é a função degrau de Heaviside que “liga” a função
a partir de
.
Passo 4
Vamos identificar
sem o fator exponencial:
Sabemos que:
Comparando com o que temos, vemos que
e
. Portanto, a transformada inversa é:
Passo 5
Agora, levando em conta o fator
, aplicamos a propriedade de deslocamento no tempo: