Calcule a transformada inversa de Laplace.
F(s) = e^(-pi s) / (s^2 + 2s + 2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada inversa de Laplace. A gente precisa encontrar a função no tempo que corresponde à transformada de Laplace dada:
Para isso, vamos usar conhecimentos sobre transformadas de Laplace, especialmente as propriedades de deslocamento no tempo e a identificação de funções padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração para identificar uma forma conhecida. Observa aí:
Podemos completar o quadrado para reescrever isso de uma maneira mais fácil de trabalhar:
Agora, a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a transformada de Laplace da função é . Mas aqui temos um , que está relacionado ao deslocamento no tempo. Na verdade, a propriedade que vamos usar é:
Onde é a função degrau de Heaviside que “liga” a função a partir de .

Passo 4

Vamos identificar sem o fator exponencial:
Sabemos que:
Comparando com o que temos, vemos que e . Portanto, a transformada inversa é:

Passo 5

Agora, levando em conta o fator , aplicamos a propriedade de deslocamento no tempo:

Resposta

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