Calcule a transformada inversa de Laplace, usando o Teorema da Convolução.
H(s) = 1 / (s (s^2 + 1)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a transformada inversa de Laplace da função usando o Teorema da Convolução. Isso envolve entender um pouco sobre transformadas de Laplace e como elas se relacionam através da convolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace inversa. Ela nos permite encontrar a função no domínio do tempo a partir da função no domínio de , que é . O Teorema da Convolução nos ajuda a encontrar essa transformada inversa quando pode ser escrita como o produto de duas funções de Laplace.

Passo 3

Vamos decompor em duas partes mais simples. Observe que:
Aqui, podemos identificar duas funções:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as transformadas inversas de e .
Para , sabemos que:
Para , temos:

Passo 5

De acordo com o Teorema da Convolução, a transformada inversa de é dada pela convolução de e :
Substituindo e :

Passo 6

Vamos simplificar a integral. Fazendo a substituição , então . Os limites de integração ficam de quando até quando :

Passo 7

Agora, calculamos a integral de :
Aplicando os limites de 0 a :

Resposta

A transformada inversa de Laplace de é:

Exercícios relacionados