Calcule a transformada inversa de Laplace, usando o Teorema da Convolução.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a transformada inversa de Laplace da função
usando o Teorema da Convolução. Isso envolve entender um pouco sobre transformadas de Laplace e como elas se relacionam através da convolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace inversa. Ela nos permite encontrar a função no domínio do tempo
a partir da função no domínio de
, que é
. O Teorema da Convolução nos ajuda a encontrar essa transformada inversa quando
pode ser escrita como o produto de duas funções de Laplace.
Passo 3
Vamos decompor
em duas partes mais simples. Observe que:
Aqui, podemos identificar duas funções:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as transformadas inversas de
e
.
Para
, sabemos que:
Para
, temos:
Passo 5
De acordo com o Teorema da Convolução, a transformada inversa de
é dada pela convolução de
e
:
Substituindo
e
:
Passo 6
Vamos simplificar a integral. Fazendo a substituição
, então
. Os limites de integração ficam de
quando
até
quando
:
Passo 7
Agora, calculamos a integral de
:
Aplicando os limites de 0 a
:
Resposta
A transformada inversa de Laplace de
é: