Calcule L(e^(-t) * e^(t) * cos(t)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a transformada de Laplace da convolução de com . Isso envolve conceitos de transformadas de Laplace e convolução, que são ferramentas bem legais para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Vamos precisar lembrar como calcular a transformada de Laplace de funções básicas e como a convolução se relaciona com essas transformadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace da convolução de duas funções é igual ao produto das transformadas de cada função individualmente. Ou seja:
Isso facilita bastante, porque em vez de calcular a convolução diretamente, que pode ser complicado, basta encontrar as transformadas separadas e multiplicá-las.

Passo 3

Vamos calcular a transformada de Laplace de . A fórmula geral para a transformada de Laplace de é:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a transformada de Laplace de . A fórmula para a transformada de Laplace de é:
Aqui, e , então:

Passo 5

Agora que temos as duas transformadas, basta multiplicá-las para obter a transformada da convolução:

Resposta

Portanto, a transformada de Laplace de é:

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