Mostre que todo vetor em F^2 pode ser escrito como combinação linear dos vetores (1,2) e (5,0). Que relação existe entre F^2 e F[(1,2),(5,0)] ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que qualquer vetor em F^2 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores (1,2) e (5,0). Basicamente, vamos trabalhar com a matéria de combinação linear e espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de combinação linear e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear de vetores é quando a gente multiplica cada vetor por um escalar e soma os resultados. No nosso caso, queremos encontrar escalares a e b tais que qualquer vetor (x, y) em F^2 possa ser escrito como:
(x, y) = a(1, 2) + b(5, 0)

Passo 3

Vamos expandir essa equação:
(x, y) = (a cdot 1 + b cdot 5, a cdot 2 + b cdot 0)
Simplificando, temos:
x = a + 5b
y = 2a

Passo 4

Agora, nosso objetivo é resolver esse sistema de equações para a e b em função de x e y. A segunda equação é mais simples, então vamos começar por ela:
y = 2a Rightarrow a = y2

Passo 5

Substituindo a = y2 na primeira equação:
x = y2 + 5b
Vamos isolar b:
x - y2 = 5b
b = x - y25 = 2x - y10

Passo 6

Então, descobrimos que para qualquer (x, y) em F^2, existem escalares a = y2 e b = 2x - y10 que satisfazem a equação (x, y) = a(1,2) + b(5,0).

Passo 7

Agora, sobre a relação entre F^2 e F[(1,2),(5,0)]: o conjunto F[(1,2),(5,0)] representa todas as combinações lineares dos vetores (1,2) e (5,0). Já mostramos que qualquer vetor em F^2 pode ser escrito dessa maneira, o que significa que F[(1,2),(5,0)] é igual a todo o espaço F^2.

Resposta

Todo vetor em F^2 pode ser escrito como combinação linear dos vetores (1,2) e (5,0), e isso significa que o espaço F^2 é igual ao espaço gerado por (1,2) e (5,0), ou seja, F^2 = F[(1,2),(5,0)].

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