Mostre que todo vetor em
pode ser escrito como combinação linear dos vetores
e
. Que relação existe entre
e
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores
e
. Basicamente, vamos trabalhar com a matéria de combinação linear e espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de combinação linear e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear de vetores é quando a gente multiplica cada vetor por um escalar e soma os resultados. No nosso caso, queremos encontrar escalares
e
tais que qualquer vetor
em
possa ser escrito como:
Passo 3
Vamos expandir essa equação:
Simplificando, temos:
Passo 4
Agora, nosso objetivo é resolver esse sistema de equações para
e
em função de
e
. A segunda equação é mais simples, então vamos começar por ela:
Passo 5
Substituindo
na primeira equação:
Vamos isolar
Passo 6
Então, descobrimos que para qualquer
em
, existem escalares
e
que satisfazem a equação
.
Passo 7
Agora, sobre a relação entre
e
: o conjunto
representa todas as combinações lineares dos vetores
e
. Já mostramos que qualquer vetor em
pode ser escrito dessa maneira, o que significa que
é igual a todo o espaço
.
Resposta
Todo vetor em
pode ser escrito como combinação linear dos vetores
e
, e isso significa que o espaço
é igual ao espaço gerado por
e
, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Determinar o vetor
, paralelo ao vetor
, tal que
.
Calcule as coordenadas do vetor
, que é ortogonal ao eixo
, de modo que
, onde
e
.
Considere as circunferências com equações gerais
e
. Determine a posição relativa entre as duas circunferências.
Considere os espaços vetoriais
dados abaixo, com as operaçōes usuais de adiçào de vetores e de multiplicaçāo por escalar. Para cada caso abaixo, responda (justificando) se o subconjunto dado
é LI (linearmente independente) ou LD (linearmente dependente).
Se for
, obtenha uma base (prove)
de
que contenha
.
Se for LD, obtenha uma base para
(subespaço gerado por
),
e responda se
(b)
Se
Se
(b)