Mostre que todo vetor em pode ser escrito como combinação linear dos vetores e . Que relação existe entre e ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e . Basicamente, vamos trabalhar com a matéria de combinação linear e espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de combinação linear e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear de vetores é quando a gente multiplica cada vetor por um escalar e soma os resultados. No nosso caso, queremos encontrar escalares e tais que qualquer vetor em possa ser escrito como:

Passo 3

Vamos expandir essa equação:

Simplificando, temos:

Passo 4

Agora, nosso objetivo é resolver esse sistema de equações para e em função de e . A segunda equação é mais simples, então vamos começar por ela:

Passo 5

Substituindo na primeira equação:

Vamos isolar :

Passo 6

Então, descobrimos que para qualquer em , existem escalares e que satisfazem a equação .

Passo 7

Agora, sobre a relação entre e : o conjunto representa todas as combinações lineares dos vetores e . Já mostramos que qualquer vetor em pode ser escrito dessa maneira, o que significa que é igual a todo o espaço .

Resposta

Todo vetor em pode ser escrito como combinação linear dos vetores e , e isso significa que o espaço é igual ao espaço gerado por e , ou seja, .

Exercícios relacionados

Determinar o vetor , paralelo ao vetor , tal que .
Calcule as coordenadas do vetor , que é ortogonal ao eixo , de modo que , onde e .
Considere as circunferências com equações gerais e . Determine a posição relativa entre as duas circunferências.
Considere os espaços vetoriais dados abaixo, com as operaçōes usuais de adiçào de vetores e de multiplicaçāo por escalar. Para cada caso abaixo, responda (justificando) se o subconjunto dado é LI (linearmente independente) ou LD (linearmente dependente).
Se for , obtenha uma base (prove) de que contenha .
Se for LD, obtenha uma base para (subespaço gerado por ), e responda se
(b)