Calcule e de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para calcular as derivadas parciais mistas de segunda ordem, ou seja, e , da função . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e depois aplicá-las duas vezes: primeiro em relação a uma variável e depois à outra.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, tratamos como uma constante durante a diferenciação.
A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia).
A derivada de em relação a é .
A derivada de em relação a é .
Então,

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar .
A derivada de em relação a é (usando a regra do produto e a regra da cadeia).
A derivada de em relação a é .
A derivada de em relação a é .
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia).
A derivada de em relação a é .
A derivada de em relação a é .
Então,

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar .
A derivada de em relação a é (usando a regra do produto e a regra da cadeia).
A derivada de em relação a é .
A derivada de em relação a é .
Então,

Resposta

As derivadas parciais mistas são iguais e valem:

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Encontre a solução do PVI dado pela equação e pela condição inicial .
Refine a raiz em cada caso abaixo utilizando o método da posição falsa:
a) onde e
Encontre uma equação para o plano tangente à superfície dada por no ponto , em que e . (Comece encontrando .)
Mostre que e para
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