Calcule
e
de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos pede para calcular as derivadas parciais mistas de segunda ordem, ou seja,
e
, da função
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e depois aplicá-las duas vezes: primeiro em relação a uma variável e depois à outra.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, tratamos
como uma constante durante a diferenciação.
A derivada de
em relação a
é
(usando a regra da cadeia).
A derivada de em relação a
é
.
A derivada de em relação a
é
.
A derivada de
A derivada de
Então,
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
.
A derivada de
em relação a
é
(usando a regra do produto e a regra da cadeia).
A derivada de em relação a
é
.
A derivada de em relação a
é
.
A derivada de
A derivada de
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A derivada de
em relação a
é
(usando a regra da cadeia).
A derivada de em relação a
é
.
A derivada de em relação a
é
.
A derivada de
A derivada de
Então,
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
.
A derivada de
em relação a
é
(usando a regra do produto e a regra da cadeia).
A derivada de em relação a
é
.
A derivada de em relação a
é
.
A derivada de
A derivada de
Então,
Resposta
As derivadas parciais mistas são iguais e valem:
Exercícios relacionados
Encontre a solução do PVI dado pela equação
e pela condição inicial
.
Refine a raiz em cada caso abaixo utilizando o método da posição falsa:
a) onde
e
a)
Encontre uma equação para o plano tangente à superfície dada por
no ponto
, em que
e
. (Comece encontrando
.)
Mostre que
e
para