Calcule
e
de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos pede para calcular as derivadas parciais mistas de segunda ordem, ou seja,
e
, da função
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e depois aplicá-las duas vezes: primeiro em relação a uma variável e depois à outra.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, tratamos
como uma constante durante a diferenciação.
A derivada de
em relação a
é
(usando a regra da cadeia).
A derivada de em relação a
é
.
A derivada de em relação a
é
.
A derivada de
A derivada de
Então,
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
.
A derivada de
em relação a
é
(usando a regra do produto e a regra da cadeia).
A derivada de em relação a
é
.
A derivada de em relação a
é
.
A derivada de
A derivada de
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A derivada de
em relação a
é
(usando a regra da cadeia).
A derivada de em relação a
é
.
A derivada de em relação a
é
.
A derivada de
A derivada de
Então,
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
.
A derivada de
em relação a
é
(usando a regra do produto e a regra da cadeia).
A derivada de em relação a
é
.
A derivada de em relação a
é
.
A derivada de
A derivada de
Então,
Resposta
As derivadas parciais mistas são iguais e valem: