Encontre a solução do PVI dado pela equação
e pela condição inicial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo primeira ordem, onde a taxa de variação de
depende de
e de uma constante. Precisamos encontrar a função
que satisfaz a equação
e a condição inicial
. Para isso, vamos usar métodos de resolução de EDOs de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la mais clara:
Essa é uma equação linear de primeira ordem, que tem a forma geral:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Para resolver uma equação linear de primeira ordem, usamos o método do fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Então, vamos calcular:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Percebemos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Para encontrar
, usamos a condição inicial
:
Resposta
A solução do problema é:
Exercícios relacionados
Refine a raiz em cada caso abaixo utilizando o método da posição falsa:
a) onde
e
a)
Refine a raiz em cada caso abaixo utilizando o método da posição falsa:
b) onde
e
b)
Calcule
e
de
Encontre uma equação para o plano tangente à superfície dada por
no ponto
, em que
e
. (Comece encontrando
.)