Encontre a solução do PVI dado pela equação x'(t) = 10 x - 20 e pela condição inicial x(0) = 5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo primeira ordem, onde a taxa de variação de depende de e de uma constante. Precisamos encontrar a função que satisfaz a equação e a condição inicial . Para isso, vamos usar métodos de resolução de EDOs de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la mais clara:
Essa é uma equação linear de primeira ordem, que tem a forma geral:
No nosso caso, e .

Passo 3

Para resolver uma equação linear de primeira ordem, usamos o método do fator integrante. O fator integrante é dado por:
Então, vamos calcular:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Percebemos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, resolvemos para :
Para encontrar , usamos a condição inicial :

Resposta

A solução do problema é:

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