Refine a raiz em cada caso abaixo utilizando o método da posição falsa:
a) onde e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para refinar a raiz da função no intervalo usando o método da posição falsa. A matéria que estamos trabalhando aqui é a Análise Numérica, especificamente métodos para encontrar raízes de funções. Para resolver, vamos precisar entender como funciona o método da posição falsa e aplicar suas etapas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método da posição falsa. Esse método é similar ao método da bisseção, mas em vez de dividir o intervalo ao meio, ele usa uma linha reta (uma secante) para aproximar a raiz. A ideia é achar uma melhor aproximação para a raiz dentro do intervalo dado.

Passo 3

Vamos começar avaliando a função nos extremos do intervalo :
Como e têm sinais opostos, sabemos que existe pelo menos uma raiz nesse intervalo devido ao Teorema de Bolzano.

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula do método da posição falsa para encontrar uma nova aproximação da raiz. A fórmula é:
Onde:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos verificar se é uma boa aproximação ou se precisamos refinar mais. Calculamos :
Como é negativo e é positivo, sabemos que a raiz está entre e .

Passo 6

Vamos aplicar novamente a fórmula com o novo intervalo :

Passo 7

Calculamos novamente:
Ainda é negativo, então a raiz está entre e .

Passo 8

Aplicamos mais uma vez a fórmula:

Passo 9

Verificamos :
A diferença está abaixo da tolerância , então podemos parar por aqui.

Resposta

A aproximação da raiz utilizando o método da posição falsa é .

Exercícios relacionados

Refine a raiz em cada caso abaixo utilizando o método da posição falsa:
b) onde e
Refine a raiz em cada caso abaixo utilizando o método da bisseção:
b) onde e
Encontre a solução do PVI dado pela equação e pela condição inicial .
Calcule e de