Utilize a fórmula integral de Cauchy para resolver as integrais do itens 1, 2 e 3.
, onde é o quadrado de vértices e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando a Fórmula Integral de Cauchy. O enunciado pede para calcularmos a integral de ao longo do contorno , que é um quadrado com vértices em , , e . Para isso, vamos precisar entender sobre integrais de contorno e polos de funções complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os polos da função . Um polo é um ponto onde a função fica infinita, ou seja, onde o denominador é zero. Vamos resolver :
Então, os polos são e .

Passo 3

Agora, precisamos verificar quais desses polos estão dentro do contorno . O contorno é um quadrado com vértices em , , e . Vamos analisar a posição de e em relação a esse quadrado.
  • tem coordenadas .
  • tem coordenadas .
Observando o contorno, vemos que está fora do quadrado, já que todos os pontos têm parte imaginária entre e . Portanto, somente está dentro do contorno .

Passo 4

Com isso, vamos aplicar a Fórmula de Cauchy para Resíduos, que diz:
onde é o resíduo de no polo dentro de . No nosso caso, temos apenas um polo dentro do contorno, que é .

Passo 5

Vamos calcular o resíduo de em . Para funções do tipo , o resíduo em é . Aplicando isso:

Passo 6

Finalmente, aplicando a fórmula de Cauchy:

Resposta

A integral vale .

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Utilize a fórmula integral de Cauchy para resolver as integrais do itens 1, 2 e 3.
.
Seja o círculo unitário , com orientação anti-horária e uma constante real qualquer. Mostre que
A seguir, escreva a integral em termos de para deduzir a fórmula
Sugestão: Defina a função e aplique a fórmula integral de Cauchy com .
Nos itens 1 a 3, calcule a integral de ao longo do caminho ( e são descritos em cada caso).
e .
Calcule a curvatura da curva .