Utilize a fórmula integral de Cauchy para resolver as integrais do itens 1, 2 e 3.
, onde
é o quadrado de vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando a Fórmula Integral de Cauchy. O enunciado pede para calcularmos a integral de
ao longo do contorno
, que é um quadrado com vértices em
,
,
e
. Para isso, vamos precisar entender sobre integrais de contorno e polos de funções complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os polos da função
. Um polo é um ponto onde a função fica infinita, ou seja, onde o denominador é zero. Vamos resolver
:
Então, os polos são
e
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar quais desses polos estão dentro do contorno
. O contorno é um quadrado com vértices em
,
,
e
. Vamos analisar a posição de
e
em relação a esse quadrado.
-
tem coordenadas . -
tem coordenadas .
Observando o contorno, vemos que
está fora do quadrado, já que todos os pontos têm parte imaginária entre
e
. Portanto, somente
está dentro do contorno
.
Passo 4
Com isso, vamos aplicar a Fórmula de Cauchy para Resíduos, que diz:
onde
é o resíduo de
no polo
dentro de
. No nosso caso, temos apenas um polo dentro do contorno, que é
.
Passo 5
Vamos calcular o resíduo de
em
. Para funções do tipo
, o resíduo em
é
. Aplicando isso:
Passo 6
Finalmente, aplicando a fórmula de Cauchy:
Resposta
A integral
vale
.
Exercícios relacionados
Utilize a fórmula integral de Cauchy para resolver as integrais do itens 1, 2 e 3.
.
Seja
o círculo unitário
, com orientação anti-horária e
uma constante real qualquer. Mostre que
A seguir, escreva a integral em termos de
para deduzir a fórmula
Sugestão: Defina a função
e aplique a fórmula integral de Cauchy com
.
Nos itens 1 a 3, calcule a integral de
ao longo do caminho
(
e
são descritos em cada caso).
e
.
Calcule a curvatura da curva
.