Utilize a fórmula integral de Cauchy para resolver as integrais do itens 1, 2 e 3.
ointC d zz^2+1, onde C é o quadrado de vértices 0,1+i, 2 i e -1+i.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando a Fórmula Integral de Cauchy. O enunciado pede para calcularmos a integral de 1z^2+1 ao longo do contorno C, que é um quadrado com vértices em 0, 1+i, 2i e -1+i. Para isso, vamos precisar entender sobre integrais de contorno e polos de funções complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os polos da função 1z^2+1. Um polo é um ponto onde a função fica infinita, ou seja, onde o denominador é zero. Vamos resolver z^2 + 1 = 0:
z^2 = -1 z = pm i
Então, os polos são z = i e z = -i.

Passo 3

Agora, precisamos verificar quais desses polos estão dentro do contorno C. O contorno é um quadrado com vértices em 0, 1+i, 2i e -1+i. Vamos analisar a posição de i e -i em relação a esse quadrado.
  • z = i tem coordenadas (0,1).
  • z = -i tem coordenadas (0,-1).
Observando o contorno, vemos que -i está fora do quadrado, já que todos os pontos têm parte imaginária entre 0 e 2. Portanto, somente z = i está dentro do contorno C.

Passo 4

Com isso, vamos aplicar a Fórmula de Cauchy para Resíduos, que diz:
ointC f(z) , dz = 2pi i sum Res(f, zk)
onde Res(f, zk) é o resíduo de f no polo zk dentro de C. No nosso caso, temos apenas um polo dentro do contorno, que é z = i.

Passo 5

Vamos calcular o resíduo de f(z) = 1z^2+1 em z = i. Para funções do tipo 1(z - a)(z - b), o resíduo em z = a é 1a - b. Aplicando isso:
Res(1z^2+1, i) = 1i - (-i) = 12i

Passo 6

Finalmente, aplicando a fórmula de Cauchy:
ointC dzz^2+1 = 2pi i times 12i = pi

Resposta

A integral ointC dzz^2+1 vale pi.

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