Nos itens 1 a 3, calcule a integral de f ao longo do caminho C ( f e C são descritos em cada caso).
f(z) = z^3 e C = {z = r e^(i t) ; 0 <= t <= pi}.

Passo 1

Entendendo o problema: Temos que calcular a integral de ao longo do caminho , onde é definido por para . Isso envolve conceitos de integração no plano complexo e parametrização de caminhos. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar o caminho e aplicar a definição de integral de função complexa.

Passo 2

Parametrizando o caminho : O caminho é dado por , onde é o raio e varia de a . Isso significa que é um arco do círculo de raio que vai de a .

Passo 3

Encontrando : Para integrar ao longo de , precisamos expressar em termos de . Derivando em relação a :

Passo 4

Expressando em termos de : Substituindo em :

Passo 5

Montando a integral: A integral ao longo de fica:
Simplificando:

Passo 6

Calculando a integral: A integral de em relação a é:
Aplicando os limites de a :

Passo 7

Finalizando o cálculo: Multiplicando pelo fator :

Resposta

A integral de ao longo do caminho é igual a 0.

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integralC 1 cdot d z=z2-z1
Conclua que
ointC 1 cdot d z=0
para qualquer caminho fechado C.