Nos itens 1 a 3, calcule a integral de
ao longo do caminho
(
e
são descritos em cada caso).
e
.
Passo 1
Entendendo o problema: Temos que calcular a integral de
ao longo do caminho
, onde
é definido por
para
. Isso envolve conceitos de integração no plano complexo e parametrização de caminhos. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar o caminho
e aplicar a definição de integral de função complexa.
Passo 2
Parametrizando o caminho
: O caminho
é dado por
, onde
é o raio e
varia de
a
. Isso significa que
é um arco do círculo de raio
que vai de
a
.
Passo 3
Encontrando
: Para integrar ao longo de
, precisamos expressar
em termos de
. Derivando
em relação a
:
Passo 4
Expressando
em termos de
: Substituindo
em
:
Passo 5
Montando a integral: A integral ao longo de
fica:
Simplificando:
Passo 6
Calculando a integral: A integral de
em relação a
é:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 7
Finalizando o cálculo: Multiplicando pelo fator
:
Resposta
A integral de
ao longo do caminho
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Utilize a fórmula integral de Cauchy para resolver as integrais do itens 1, 2 e 3.
, onde
é o quadrado de vértices
e
.
Utilize a fórmula integral de Cauchy para resolver as integrais do itens 1, 2 e 3.
.
Calcule a curvatura da curva
.
Seja
um caminho qualquer ligando os pontos
e
. Mostre que
só depende de
e
ou, precisamente, que
Conclua que
para qualquer caminho fechado
.