Determine uma função potencial para cada campo gradiente dado e calcule onde é qualquer caminho por partes do ponto até o ponto indicados, onde
e e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A gente precisa encontrar uma função potencial para o campo vetorial dado e calcular a integral de linha de um ponto até . Para isso, vamos usar conceitos de campos conservativos e funções potenciais. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial tal que . Para isso, vamos comparar as derivadas parciais cruzadas.
Temos:
Vamos calcular:
Como , o campo é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial tal que .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função potencial . Sabemos que:
Então:
Vamos integrar essa expressão em relação a :
Onde é uma função de que surge da integração.
Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Igualando os termos:
Percebemos que . Integrando em relação a :
Onde é uma constante de integração.
Portanto, a função potencial é:
Como a constante não afeta a integral de linha, podemos considerá-la igual a zero.

Passo 4

Agora que temos a função potencial , podemos calcular a integral de linha simplesmente calculando a diferença de nos pontos e :
Vamos calcular e :
Então:

Resposta

A integral de linha de até é igual a 2.

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