Determine uma função potencial para cada campo gradiente
dado e calcule
onde
é qualquer caminho
por partes do ponto
até o ponto
indicados, onde
e
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A gente precisa encontrar uma função potencial para o campo vetorial dado
e calcular a integral de linha
de um ponto
até
. Para isso, vamos usar conceitos de campos conservativos e funções potenciais. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial
é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial
tal que
. Para isso, vamos comparar as derivadas parciais cruzadas.
Temos:
Vamos calcular:
Como
, o campo
é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial
tal que
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Então:
Vamos integrar essa expressão em relação a
:
Onde
é uma função de
que surge da integração.
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Igualando os termos:
Percebemos que
. Integrando em relação a
:
Onde
é uma constante de integração.
Portanto, a função potencial é:
Como a constante
não afeta a integral de linha, podemos considerá-la igual a zero.
Passo 4
Agora que temos a função potencial
, podemos calcular a integral de linha
simplesmente calculando a diferença de
nos pontos
e
:
Vamos calcular
e
:
Então:
Resposta
A integral de linha
de
até
é igual a 2.
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e
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