Determine uma função potencial para cada campo gradiente F dado e calcule integralC F cdot d r onde C é qualquer caminho C^1 por partes do ponto A até o ponto B indicados, onde
F(x, y)=(2 x y^2-y^3, 2 x^2 y-3 x y^2+2) e A=(0,0) e B=(1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A gente precisa encontrar uma função potencial para o campo vetorial dado e calcular a integral de linha de um ponto até . Para isso, vamos usar conceitos de campos conservativos e funções potenciais. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial F(x, y) = (F1, F2) = (2x y^2 - y^3, 2x^2 y - 3x y^2 + 2) é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial partial F1partial y = partialpartial y (2x y^2 - y^3) = 4x y - 3y^2 tal que partial F2partial x = partialpartial x (2x^2 y - 3x y^2 + 2) = 4x y - 3y^2 . Para isso, vamos comparar as derivadas parciais cruzadas.
Temos:
Vamos calcular:
Como , o campo é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial tal que .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função potencial nabla phi = (partial phipartial x, partial phipartial y) = (F1, F2) . Sabemos que:
partial phipartial x = 2x y^2 - y^3
Então:
phi(x, y) = integral (2x y^2 - y^3) dx = x^2 y^2 - x y^3 + g(y)
Vamos integrar essa expressão em relação a partial phipartial y = 2x^2 y - 3x y^2 + g'(y) = 2x^2 y - 3x y^2 + 2 :
2x^2 y - 3x y^2 + g'(y) = 2x^2 y - 3x y^2 + 2
Onde g(y) = 2y + C é uma função de phi(x, y) = x^2 y^2 - x y^3 + 2y + C que surge da integração.
Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :
Igualando os termos:
Percebemos que . Integrando em relação a :
Onde é uma constante de integração.
Portanto, a função potencial é:
Como a constante não afeta a integral de linha, podemos considerá-la igual a zero.

Passo 4

Agora que temos a função potencial integralC F cdot dr = phi(B) - phi(A) , podemos calcular a integral de linha phi(1, 1) = (1)^2 cdot (1)^2 - (1) cdot (1)^3 + 2 cdot (1) = 1 - 1 + 2 = 2 simplesmente calculando a diferença de phi(0, 0) = (0)^2 cdot (0)^2 - (0) cdot (0)^3 + 2 cdot (0) = 0 nos pontos integralC F cdot dr = 2 - 0 = 2 e :
Vamos calcular e :
Então:

Resposta

A integral de linha de até é igual a 2.

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