Calcule a curvatura das curvas com parametrizações abaixo em um ponto arbitrário

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a curvatura da curva dada pela parametrização em um ponto qualquer . Para isso, vamos precisar entender o que é curvatura e como calculá-la usando derivadas da parametrização da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função , que é . A primeira derivada nos dá a velocidade da curva naquele ponto.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, , que nos dá a aceleração da curva naquele ponto.

Passo 4

A curvatura ( ) de uma curva parametrizada é dada pela fórmula:
Vamos calcular o produto vetorial .
Calculando o determinante:
Simplificando:
Como :

Passo 5

Agora, vamos encontrar o módulo desse vetor:

Passo 6

Também precisamos do módulo de :

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da curvatura:

Resposta

A curvatura da curva em qualquer ponto é .

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Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas , orientadas positivamente, onde
é a fronteira da região limitada pelas curvas e .
Determine uma função potencial para cada campo gradiente dado e calcule onde é qualquer caminho por partes do ponto até o ponto indicados, onde
e e .
Em qual ponto da curva o plano normal é paralelo ao plano
Determine uma função potencial para cada campo gradiente dado e calcule onde é qualquer caminho por partes do ponto até o ponto indicados, onde
seny, e e .