Calcule a curvatura das curvas com parametrizações abaixo em um ponto t arbitrário
r(t) = (t, 3 cos(t), 3 sen(t))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a curvatura da curva dada pela parametrização em um ponto qualquer . Para isso, vamos precisar entender o que é curvatura e como calculá-la usando derivadas da parametrização da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função , que é . A primeira derivada nos dá a velocidade da curva naquele ponto.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, , que nos dá a aceleração da curva naquele ponto.

Passo 4

A curvatura ( ) de uma curva parametrizada é dada pela fórmula:
Vamos calcular o produto vetorial .
Calculando o determinante:
Simplificando:
Como :

Passo 5

Agora, vamos encontrar o módulo desse vetor:

Passo 6

Também precisamos do módulo de :

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da curvatura:

Resposta

A curvatura da curva em qualquer ponto é .

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