Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas
, orientadas positivamente, onde
é a fronteira da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
Entendendo o Problema
Vamos calcular a integral de linha:
onde
é a borda da região delimitada pelas circunferências
e
, orientadas positivamente (no sentido anti-horário). Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que a curva delimita.
Passo 2
Aplicando o Teorema de Green
O Teorema de Green nos diz que:
Identificando
e
na nossa integral:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo no Teorema de Green:
Passo 3
Mudando para Coordenadas Polares
Como a região
é um anel entre duas circunferências, é mais fácil usar coordenadas polares (
) para a integração. Lembrando que:
Substituindo
na integral:
Simplificando:
Passo 4
Calculando as Integrais em
Vamos separar a integral em duas partes:
Parte 1:
Parte 2:
Sabemos que:
Portanto:
Passo 5
Integrando em
Agora, substituindo de volta na integral dupla:
Simplificando:
Calculando a integral:
Portanto:
Resposta
A integral calculada é: