Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas , orientadas positivamente, onde
é a fronteira da região limitada pelas curvas e .

Passo 1

Entendendo o Problema
Vamos calcular a integral de linha:
onde é a borda da região delimitada pelas circunferências e , orientadas positivamente (no sentido anti-horário). Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que a curva delimita.

Passo 2

Aplicando o Teorema de Green
O Teorema de Green nos diz que:
Identificando e na nossa integral:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo no Teorema de Green:

Passo 3

Mudando para Coordenadas Polares
Como a região é um anel entre duas circunferências, é mais fácil usar coordenadas polares ( ) para a integração. Lembrando que:
Substituindo na integral:
Simplificando:

Passo 4

Calculando as Integrais em
Vamos separar a integral em duas partes:
Parte 1:
Parte 2:
Sabemos que:
Portanto:

Passo 5

Integrando em
Agora, substituindo de volta na integral dupla:
Simplificando:
Calculando a integral:
Portanto:

Resposta

A integral calculada é:

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