Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C, orientadas positivamente, onde
ointC(2 x-y^3) d x-x y d y ; C é a fronteira da região limitada pelas curvas x^2+y^2=2 e x^2+y^2=9.

Passo 1

Entendendo o Problema
Vamos calcular a integral de linha:
ointC(2x - y^3) dx - xy, dy
onde é a borda da região delimitada pelas circunferências e , orientadas positivamente (no sentido anti-horário). Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que a curva delimita.

Passo 2

Aplicando o Teorema de Green
O Teorema de Green nos diz que:
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Identificando P = 2x - y^3 e Q = -xy e partial Qpartial x = partial (-xy)partial x = -y na nossa integral:
partial Ppartial y = partial (2x - y^3)partial y = -3y^2
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
integral duplaD ( -y - (-3y^2) ) dA = integral duplaD ( -y + 3y^2 ) dA
Substituindo no Teorema de Green:

Passo 3

Mudando para Coordenadas Polares
Como a região x = r costheta e y = r sintheta é um anel entre duas circunferências, é mais fácil usar coordenadas polares ( dA = r, dr, dtheta ) para a integração. Lembrando que:
integral duplaD (-y + 3y^2) dA = integralr=raiz2^3 integraltheta=0^2pi ( -rsintheta + 3(rsintheta)^2 ) r, dtheta, dr
= integralraiz2^3 integral0^2pi ( -r^2sintheta + 3r^3sin^2theta ) dtheta, dr
Substituindo na integral:
Simplificando:

Passo 4

Calculando as Integrais em integral0^2pi -r^2sintheta, dtheta = -r^2 [ -costheta ]0^2pi = -r^2 ( -cos 2pi + cos 0 ) = -r^2( -1 + 1 ) = 0
Vamos separar a integral em duas partes:
  1. integral0^2pi sin^2theta, dtheta = pi
  2. integral0^2pi 3r^3sin^2theta, dtheta = 3r^3 cdot pi
Parte 1:
Parte 2:
Sabemos que:
Portanto:

Passo 5

Integrando em integral duplaD (-y + 3y^2) dA = integralraiz2^3 0, dr + integralraiz2^3 3pi r^3, dr
Agora, substituindo de volta na integral dupla:
= 3pi integralraiz2^3 r^3, dr
Simplificando:
integral r^3, dr = r^44
Calculando a integral:
3pi [ r^44 ]raiz2^3 = 3pi4 ( 3^4 - (raiz2)^4 ) = 3pi4 (81 - 4) = 3pi4 times 77 = 2314pi
Portanto:

Resposta

A integral calculada é:
ointC(2x - y^3) dx - xy, dy = 2314pi

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