Em qual ponto da curva
o plano normal é paralelo ao plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva definida por
e queremos descobrir em qual ponto dessa curva o plano normal é paralelo a outro plano dado pela equação
.
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre curvas no espaço, vetores tangentes e planos normais. Também vamos usar um pouquinho de álgebra para comparar os planos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor tangente à curva. O vetor tangente é a derivada da função
em relação a
. Então, derivando cada componente:
Esse vetor tangente nos dá a direção da curva naquele ponto específico.
Passo 3
O plano normal à curva em um ponto específico é o plano que é perpendicular ao vetor tangente naquele ponto. Ou seja, o vetor normal do plano normal é o próprio vetor tangente
.
Passo 4
Queremos que o plano normal à curva seja paralelo ao plano dado
. Para que dois planos sejam paralelos, os vetores normais deles precisam ser paralelos, ou seja, um é múltiplo do outro.
O vetor normal do plano dado é
, e o vetor normal do plano normal à curva é
.
Passo 5
Para os vetores
e
serem paralelos, deve existir um escalar
tal que:
Ou seja:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações:
Da segunda equação:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Vamos verificar a terceira equação com
e
:
Agora, com
:
Portanto,
é a solução válida.
Resposta
O ponto na curva
onde o plano normal é paralelo ao plano
é
.