Em qual ponto da curva r(t) = (t^3, 3t, t^4) o plano normal é paralelo ao plano 6 x + 6 y - 8 z - 1 = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva definida por e queremos descobrir em qual ponto dessa curva o plano normal é paralelo a outro plano dado pela equação .
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre curvas no espaço, vetores tangentes e planos normais. Também vamos usar um pouquinho de álgebra para comparar os planos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor tangente à curva. O vetor tangente é a derivada da função vec(r)(t) em relação a t. Então, derivando cada componente:
Esse vetor tangente nos dá a direção da curva naquele ponto específico.

Passo 3

O plano normal à curva em um ponto específico é o plano que é perpendicular ao vetor tangente naquele ponto. Ou seja, o vetor normal do plano normal é o próprio vetor tangente .

Passo 4

Queremos que o plano normal à curva seja paralelo ao plano dado . Para que dois planos sejam paralelos, os vetores normais deles precisam ser paralelos, ou seja, um é múltiplo do outro.
O vetor normal do plano dado é , e o vetor normal do plano normal à curva é .

Passo 5

Para os vetores e serem paralelos, deve existir um escalar lambda tal que:
Ou seja:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações:
Da segunda equação:
Agora, substituímos na primeira equação:
Vamos verificar a terceira equação com e :
ãéá
Agora, com :
á
Portanto, é a solução válida.

Resposta

O ponto na curva r(t) = (t^3, 3t, t^4) onde o plano normal é paralelo ao plano é .

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