Calcule a curvatura das curvas com parametrizações abaixo em um ponto arbitrário
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a curvatura da curva parametrizada por em um ponto qualquer . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, principalmente derivadas de vetores e produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da posição em relação a , que é . Isso nos dá a velocidade da curva.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada, , que representa a aceleração da curva.
Passo 4
Com e em mãos, vamos calcular o produto vetorial entre elas, . O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular aos dois vetores originais, e sua magnitude está relacionada à área do paralelogramo formado por eles.
Calculando o determinante:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a magnitude desse produto vetorial, que é .
Passo 6
Em seguida, vamos calcular a magnitude da primeira derivada, .
Passo 7
A fórmula da curvatura para uma curva parametrizada é dada por: