Calcule a curvatura das curvas com parametrizações abaixo em um ponto t arbitrário
vec(r)(t) = (raiz(2) t, e^(t), e^(-t))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a curvatura da curva parametrizada por em um ponto qualquer . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, principalmente derivadas de vetores e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da posição em relação a , que é . Isso nos dá a velocidade da curva.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, , que representa a aceleração da curva.

Passo 4

Com e em mãos, vamos calcular o produto vetorial entre elas, . O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular aos dois vetores originais, e sua magnitude está relacionada à área do paralelogramo formado por eles.
Calculando o determinante:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a magnitude desse produto vetorial, que é .

Passo 6

Em seguida, vamos calcular a magnitude da primeira derivada, .

Passo 7

A fórmula da curvatura para uma curva parametrizada é dada por:
Vamos substituir os valores que calculamos:

Passo 8

Para simplificar, observamos que:
E
Então, a curvatura fica:

Resposta

A curvatura da curva em um ponto qualquer é:

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