Considere a curva dada pela função vetorial
.
Reparametrize a curva em relação ao comprimento de arco;
Reparametrize a curva em relação ao comprimento de arco;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a curva dada pela função vetorial
. Nosso objetivo é reparametrizar essa curva em relação ao comprimento de arco. Isso significa que queremos expressar a posição na curva não mais em função de
, mas em função do comprimento que já percorremos na curva, que chamaremos de
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial
em relação a
, que é
. Isso nos dará a velocidade com que estamos nos movendo ao longo da curva.
Passo 3
Agora, vamos calcular a norma de
, que representa a velocidade escalar ou a taxa de variação do comprimento de arco em relação a
. A fórmula para a norma é:
Passo 4
O comprimento de arco
desde
até um ponto qualquer
na curva é dado pela integral da norma da derivada:
Passo 5
Para reparametrizar a curva em termos de
, precisamos expressar
em função de
. Da equação acima:
Passo 6
Agora, substituímos
na função original
por
para obter a reparametrização em termos de
:
Resposta
A reparametrização da curva em relação ao comprimento de arco
é: