Considere a curva dada pela função vetorial r(t) = (5 - t, 4t - 3, 3t).
Reparametrize a curva em relação ao comprimento de arco;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a curva dada pela função vetorial . Nosso objetivo é reparametrizar essa curva em relação ao comprimento de arco. Isso significa que queremos expressar a posição na curva não mais em função de , mas em função do comprimento que já percorremos na curva, que chamaremos de . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial em relação a , que é . Isso nos dará a velocidade com que estamos nos movendo ao longo da curva.

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma de , que representa a velocidade escalar ou a taxa de variação do comprimento de arco em relação a . A fórmula para a norma é:

Passo 4

O comprimento de arco desde até um ponto qualquer na curva é dado pela integral da norma da derivada:

Passo 5

Para reparametrizar a curva em termos de , precisamos expressar em função de . Da equação acima:

Passo 6

Agora, substituímos na função original por para obter a reparametrização em termos de :

Resposta

A reparametrização da curva em relação ao comprimento de arco é:

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