Calcule a curvatura das curvas planas abaixo em um ponto x arbitrário.
y = x^3

Passo 1

Beleza, temos um exercício de cálculo onde precisamos encontrar a curvatura da curva plana em um ponto qualquer x. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e a fórmula da curvatura em geometria diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da curvatura kappa para uma curva :
Aqui, é a primeira derivada da função e é a segunda derivada.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada da função :

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada :

Passo 5

Com as derivadas calculadas, vamos substituir na fórmula da curvatura:
Como estamos considerando um ponto x qualquer, podemos simplificar |x| para x se o contexto permitir:

Resposta

A curvatura da curva em um ponto x arbitrário é:

Exercícios relacionados