Determine as equações dos planos normal e osculador da curva no ponto indicado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as equações dos planos normal e osculador de uma curva no ponto . A curva está definida pela função vetorial . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas para encontrar vetores tangente e normal, que nos ajudarão a determinar esses planos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor de que corresponde ao ponto . Olhando para a função , observamos que quando :
Então, é o parâmetro que nos dá o ponto .
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor tangente à curva no ponto . Para isso, derivamos em relação a :
Avaliado em :
Passo 4
O vetor tangente nos dá a direção da curva no ponto . O plano normal à curva no ponto é perpendicular a esse vetor tangente. Então, a equação do plano normal tem como vetor normal e passa pelo ponto .
Passo 5
A equação de um plano com vetor normal e passando pelo ponto é:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Multiplicando tudo por 3 para eliminar o denominador:
Então, a equação do plano normal é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o plano osculador. O plano osculador é aquele que contém tanto o vetor tangente quanto o vetor de curvatura, que é a derivada segunda de . Então, primeiro, vamos encontrar :
Avaliado em :
Passo 7
O vetor de curvatura nos dá a direção da mudança do vetor tangente. O plano osculador terá dois vetores: o tangente e o de curvatura . Para encontrar a normal do plano osculador, calculamos o produto vetorial desses dois vetores:
Calculando o determinante:
Podemos simplificar esse vetor dividindo por 2:
Passo 8
Agora, usamos a mesma fórmula da equação do plano, com e ponto :