Resolva as seguintes EDO 2 x^3 dy/dx = y^3 + 3 x^2 y

Passo 1

Então, a gente tem essa equação diferencial aí:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem. Vamos usar umas técnicas de substituição para resolver isso. Precisamos separar as variáveis e integrar para encontrar a solução da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a equação. Vamos dividir os dois lados por para isolar :

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para deixar a equação mais fácil de resolver. Vamos definir:
Isso significa que:
E derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Substituindo e na equação original, temos:
Simplificando:

Passo 5

Vamos dividir toda a equação por para simplificar:
Rearranjando para isolar :
Ou seja,

Passo 6

Agora, a equação está na forma separável. Vamos separar as variáveis e :

Passo 7

Para integrar o lado esquerdo, vamos usar frações parciais. Queremos expressar:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Comparando os coeficientes, descobrimos que e . Então:

Passo 8

Integrando ambos os lados:
As integrais ficam:

Passo 9

Vamos substituir de volta:
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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