Calcule a curvatura das curvas planas abaixo em um ponto x arbitrário.
y = x ln x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a curvatura da curva plana em um ponto qualquer . A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente o estudo da curvatura de curvas planas. Para resolver isso, vamos precisar das derivadas primeiras e segundas da função, e depois aplicar a fórmula da curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . Isso vai nos dar a inclinação da curva em qualquer ponto .
Usando a regra do produto:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que nos ajuda a entender a concavidade da curva.
A derivada de é e a derivada de 1 é 0, então:

Passo 4

Com as derivadas em mãos, vamos usar a fórmula da curvatura para curvas planas, que é:
Substituindo e que encontramos:

Resposta

A curvatura da curva em um ponto arbitrário é:

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