Calcule a curvatura: ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a curvatura da função vetorial dada por . A curvatura nos ajuda a entender o quanto a curva está “dobrando” em cada ponto. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas primeira e segunda das componentes de e aplicar a fórmula da curvatura para curvas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da nossa função vetorial:
Essas são as funções que descrevem a posição na curva em termos de .

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada de em relação a . Para isso, usamos a regra do quociente:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada de em relação a :
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:

Passo 5

Vamos agora calcular a segunda derivada de , ou seja, . Diferenciando :
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Expandindo os termos:

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda derivada de , ou seja, . Diferenciando :
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Expandindo os termos:

Passo 7

Agora que temos , , e , vamos usar a fórmula da curvatura para curvas paramétricas:
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.

Passo 8

Calculando o numerador:
Simplificando:

Passo 9

Calculando o denominador:

Passo 10

Agora, substituindo no fórmula da curvatura:
Simplificando o denominador:
Então:
Simplificando:
Para simplificar, podemos deixar a curvatura como:
Ou de forma simplificada:

Resposta

A curvatura da curva é dada por:

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Calcule a curvatura: ;
Inverta a ordem de integração
.
Prove que se , então .
Encontre a solução geral: