Calcule a curvatura:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a curvatura da função vetorial dada por
. A curvatura nos ajuda a entender o quanto a curva está “dobrando” em cada ponto. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas primeira e segunda das componentes de
e aplicar a fórmula da curvatura para curvas paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes da nossa função vetorial:
Essas são as funções que descrevem a posição na curva em termos de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
. Para isso, usamos a regra do quociente:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Passo 5
Vamos agora calcular a segunda derivada de
, ou seja,
. Diferenciando
:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Expandindo os termos:
Passo 6
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
, ou seja,
. Diferenciando
:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Expandindo os termos:
Passo 7
Agora que temos
,
,
e
, vamos usar a fórmula da curvatura para curvas paramétricas:
Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
Passo 8
Calculando o numerador:
Simplificando:
Passo 9
Calculando o denominador:
Passo 10
Agora, substituindo no fórmula da curvatura:
Simplificando o denominador:
Então:
Simplificando:
Para simplificar, podemos deixar a curvatura como:
Ou de forma simplificada:
Resposta
A curvatura da curva
é dada por:
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Calcule a curvatura:
;
Inverta a ordem de integração
.
Prove que se
, então
.
Encontre a solução geral: