Calcule a curvatura:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a curvatura da curva dada por
. Isso faz parte do estudo de Cálculo, mais especificamente no tema de curvatura de curvas no plano. Para isso, vamos precisar calcular algumas derivadas e aplicar a fórmula da curvatura.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a curvatura (
) de uma curva paramétrica
é dada pela fórmula:
Aqui,
e
são as primeiras derivadas de
e
em relação a
, e
e
são as segundas derivadas.
Passo 3
Vamos calcular as primeiras derivadas de
e
. Na nossa curva,
e
.
Passo 4
Agora, vamos calcular as segundas derivadas de
e
.
Passo 5
Com as derivadas calculadas, vamos substituir na fórmula da curvatura:
Passo 6
Simplificando os valores absolutos e a expressão, temos:
Resposta
A curvatura da curva
é:
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Inverta a ordem de integração
.
Calcule a curvatura:
;
Calcule a curvatura:
;
Prove que se
, então
.