Calcule a curvatura: ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a curvatura da curva dada por . Isso faz parte do estudo de Cálculo, mais especificamente no tema de curvatura de curvas no plano. Para isso, vamos precisar calcular algumas derivadas e aplicar a fórmula da curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a curvatura ( ) de uma curva paramétrica é dada pela fórmula:
Aqui, e são as primeiras derivadas de e em relação a , e e são as segundas derivadas.

Passo 3

Vamos calcular as primeiras derivadas de e . Na nossa curva, e .

Passo 4

Agora, vamos calcular as segundas derivadas de e .

Passo 5

Com as derivadas calculadas, vamos substituir na fórmula da curvatura:

Passo 6

Simplificando os valores absolutos e a expressão, temos:

Resposta

A curvatura da curva é:

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Inverta a ordem de integração
.
Calcule a curvatura: ;
Calcule a curvatura: ;
Prove que se , então .