Inverta a ordem de integração
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para inverter a ordem de integração da integral dupla:
Estamos trabalhando com cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrando primeiro em relação a
e depois em relação a
. Para inverter a ordem, precisamos entender a região de integração e reescrever os limites de forma que integremos primeiro em
e depois em
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região sobre a qual estamos integrando. O
varia de
até
. Para cada valor de
, o
varia de
até
.
Então, a região
é definida por:
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em termos de
. Vamos achar os limites para
e, para cada
, encontrar os limites correspondentes para
.
Observando os limites de
:
- No ponto mais baixo, quando
, e . - No ponto mais alto, quando
, e .
Portanto,
varia de
até
.
Passo 4
Agora, para cada
no intervalo
, precisamos encontrar os limites de
.
Sabemos que
e
. Vamos resolver essas desigualdades para
:
-
implica . -
implica .
Então, para cada
,
varia de
até
.
Passo 5
Com isso, conseguimos reescrever a integral com a ordem de integração invertida. Ficará assim:
Resposta
Após inverter a ordem de integração, a integral fica:
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