Inverta a ordem de integração
.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para inverter a ordem de integração da integral dupla:
Estamos trabalhando com cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrando primeiro em relação a e depois em relação a . Para inverter a ordem, precisamos entender a região de integração e reescrever os limites de forma que integremos primeiro em e depois em .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região sobre a qual estamos integrando. O varia de até . Para cada valor de , o varia de até .
Então, a região é definida por:

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar em termos de . Vamos achar os limites para e, para cada , encontrar os limites correspondentes para .
Observando os limites de :
  • No ponto mais baixo, quando , e .
  • No ponto mais alto, quando , e .
Portanto, varia de até .

Passo 4

Agora, para cada no intervalo , precisamos encontrar os limites de .
Sabemos que e . Vamos resolver essas desigualdades para :
  1. implica .
  2. implica .
Então, para cada , varia de até .

Passo 5

Com isso, conseguimos reescrever a integral com a ordem de integração invertida. Ficará assim:

Resposta

Após inverter a ordem de integração, a integral fica:

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