Calcule a curvatura:
;
Passo 1
Então, a gente tem a função vetorial
e precisamos calcular a curvatura dessa curva. A curvatura nos dá uma ideia de quão “curvada” está a trajetória naquele ponto. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais e produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
, que representará o vetor velocidade da curva. Derivando cada componente em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
, que será o vetor aceleração:
Passo 4
Com
e
em mãos, precisamos calcular o produto vetorial deles,
. O produto vetorial entre dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Simplificando cada componente:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a norma (ou módulo) do vetor resultado do produto vetorial, que no caso é zero. Além disso, vamos calcular a norma de
:
Passo 6
A fórmula para a curvatura
de uma curva no espaço é:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A curvatura da curva
é igual a zero para todo valor de
.
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral:
Encontre a solução geral:
A equação para um oscilador harmônico sujeito a força externa é
, onde
,
e
são constantes positivas e
denota a posição no instante
. Use o item (b) para reescrever a solução geral do caso sem força externa do item (a).
(spoiler: Exercício importante e super legal!) Escreva uma EDO cujas soluções, independentemente das condições iniciais, se aproximam (à medida que
cresce) da função
.