Calcule a curvatura: ;

Passo 1

Então, a gente tem a função vetorial e precisamos calcular a curvatura dessa curva. A curvatura nos dá uma ideia de quão “curvada” está a trajetória naquele ponto. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de , que representará o vetor velocidade da curva. Derivando cada componente em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de , que será o vetor aceleração:

Passo 4

Com e em mãos, precisamos calcular o produto vetorial deles, . O produto vetorial entre dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Simplificando cada componente:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a norma (ou módulo) do vetor resultado do produto vetorial, que no caso é zero. Além disso, vamos calcular a norma de :

Passo 6

A fórmula para a curvatura de uma curva no espaço é:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A curvatura da curva é igual a zero para todo valor de .

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A equação para um oscilador harmônico sujeito a força externa é , onde , e são constantes positivas e denota a posição no instante . Use o item (b) para reescrever a solução geral do caso sem força externa do item (a).
(spoiler: Exercício importante e super legal!) Escreva uma EDO cujas soluções, independentemente das condições iniciais, se aproximam (à medida que cresce) da função .