A equação para um oscilador harmônico sujeito a força externa é
, onde
,
e
são constantes positivas e
denota a posição no instante
. Use o item (b) para reescrever a solução geral do caso sem força externa do item (a).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um oscilador harmônico que está sendo afetado por uma força externa. A equação dada é:
Aqui,
é a massa,
é a constante da mola,
é a força externa, e
é a posição em função do tempo
. Para resolver esse problema sem a força externa, precisamos simplificar a equação eliminando o termo de força externa. Vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o caso sem a força externa, ou seja, quando
. A equação fica:
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem. Para resolver, podemos rearranjá-la:
Aqui,
é uma constante que chamaremos de
, onde
é a frequência natural do oscilador. Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, para resolver essa equação, lembramos que as soluções são funções trigonométricas. A solução geral de uma equação homogênea desse tipo é:
Aqui,
e
são constantes que determinamos com base nas condições iniciais do problema.
Passo 4
Então, a solução geral para o oscilador harmônico sem a força externa é baseada nas funções seno e cosseno, que descrevem as oscilações naturais do sistema. Essas funções refletem como o sistema se move livremente após ser deslocado de sua posição de equilíbrio.
Resposta
A solução geral do oscilador harmônico sem força externa é:
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Calcule a curvatura:
;
Encontre a solução geral:
(spoiler: Exercício importante e super legal!) Escreva uma EDO cujas soluções, independentemente das condições iniciais, se aproximam (à medida que
cresce) da função
.
A equação para um oscilador harmônico sujeito a força externa é
, onde
,
e
são constantes positivas e
denota a posição no instante
. Mostre que uma soma do tipo
pode ser reescrita como
, onde
e
são constantes expressas em termos de
e
. Esboce o gráfico de
, supondo por exemplo que
e
são positivas. Note, assim, que
corresponde à frequência da oscilação.