A equação para um oscilador harmônico sujeito a força externa é , onde , e são constantes positivas e denota a posição no instante . Use o item (b) para reescrever a solução geral do caso sem força externa do item (a).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um oscilador harmônico que está sendo afetado por uma força externa. A equação dada é:
Aqui, é a massa, é a constante da mola, é a força externa, e é a posição em função do tempo . Para resolver esse problema sem a força externa, precisamos simplificar a equação eliminando o termo de força externa. Vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caso sem a força externa, ou seja, quando . A equação fica:
Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem. Para resolver, podemos rearranjá-la:
Aqui, é uma constante que chamaremos de , onde é a frequência natural do oscilador. Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, para resolver essa equação, lembramos que as soluções são funções trigonométricas. A solução geral de uma equação homogênea desse tipo é:
Aqui, e são constantes que determinamos com base nas condições iniciais do problema.

Passo 4

Então, a solução geral para o oscilador harmônico sem a força externa é baseada nas funções seno e cosseno, que descrevem as oscilações naturais do sistema. Essas funções refletem como o sistema se move livremente após ser deslocado de sua posição de equilíbrio.

Resposta

A solução geral do oscilador harmônico sem força externa é:

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Encontre a solução geral:
(spoiler: Exercício importante e super legal!) Escreva uma EDO cujas soluções, independentemente das condições iniciais, se aproximam (à medida que cresce) da função .
A equação para um oscilador harmônico sujeito a força externa é , onde , e são constantes positivas e denota a posição no instante . Mostre que uma soma do tipo pode ser reescrita como , onde e são constantes expressas em termos de e . Esboce o gráfico de , supondo por exemplo que e são positivas. Note, assim, que corresponde à frequência da oscilação.