(spoiler: Exercício importante e super legal!) Escreva uma EDO cujas soluções, independentemente das condições iniciais, se aproximam (à medida que
cresce) da função
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa aqui. O exercício pede para escrever uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) cujas soluções, independente das condições iniciais, se aproximem da função conforme
cresce. Isso envolve conceitos de equações diferenciais e comportamento assintótico das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma EDO relaciona uma função desconhecida e suas derivadas. No nosso caso, queremos uma EDO onde a solução tende para . Para isso, vamos considerar que a diferença entre qualquer solução
da EDO e a função
tende a zero quando
vai para o infinito.
Passo 3
Vamos definir a diferença
. Nosso objetivo é que
tenda a zero conforme
cresce. Para que isso aconteça, precisamos que a equação diferencial para
seja estável, ou seja, que a solução de
diminua com o tempo.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Como queremos que
vá para zero, vamos montar uma EDO que faça isso acontecer. Uma forma simples é usar uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes que garantam a estabilidade.
Passo 5
Sabemos que satisfaz uma EDO homogênea associada. Calculando as derivadas:
Vamos montar a EDO homogênea com base nessas derivadas.
Passo 6
Substituindo
e suas derivadas na forma geral de uma EDO de segunda ordem:
Substituindo
,
e
:
Agora, agrupamos os termos de e
e igualamos a zero.
Passo 7
Agrupando:
Para que isso seja válido para todo
, os coeficientes devem ser zero:
Resolvendo esse sistema de equações para
e
.
Passo 8
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo
na expressão para
:
Passo 9
Com os valores de
e
encontrados (
e
), a EDO fica:
Mas precisamos garantir que todas as soluções se aproximem de
. Para isso, adicionamos um termo de amortecimento à EDO.
Passo 10
Adicionando um termo de amortecimento, por exemplo,
, onde
, para garantir que
tenda a zero:
Assim, todas as soluções desse sistema vão se aproximar de
conforme
cresce.
Resposta
A EDO desejada é
onde
é uma constante positiva que garante que todas as soluções se aproximem de quando
cresce.
Exercícios relacionados
A equação para um oscilador harmônico sujeito a força externa é
, onde
,
e
são constantes positivas e
denota a posição no instante
. Use o item (b) para reescrever a solução geral do caso sem força externa do item (a).
Calcule a curvatura:
;
A equação para um oscilador harmônico sujeito a força externa é
, onde
,
e
são constantes positivas e
denota a posição no instante
. Mostre que uma soma do tipo
pode ser reescrita como
, onde
e
são constantes expressas em termos de
e
. Esboce o gráfico de
, supondo por exemplo que
e
são positivas. Note, assim, que
corresponde à frequência da oscilação.
A equação para um oscilador harmônico sujeito a força externa é
, onde
,
e
são constantes positivas e
denota a posição no instante
. Determine a frequência de oscilação (ainda no caso sem força externa) em termos de
e
. Essa é a chamada frequência natural.