(spoiler: Exercício importante e super legal!) Escreva uma EDO cujas soluções, independentemente das condições iniciais, se aproximam (à medida que cresce) da função .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa aqui. O exercício pede para escrever uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) cujas soluções, independente das condições iniciais, se aproximem da função conforme cresce. Isso envolve conceitos de equações diferenciais e comportamento assintótico das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma EDO relaciona uma função desconhecida e suas derivadas. No nosso caso, queremos uma EDO onde a solução tende para . Para isso, vamos considerar que a diferença entre qualquer solução da EDO e a função tende a zero quando vai para o infinito.

Passo 3

Vamos definir a diferença . Nosso objetivo é que tenda a zero conforme cresce. Para que isso aconteça, precisamos que a equação diferencial para seja estável, ou seja, que a solução de diminua com o tempo.

Passo 4

Calculamos as derivadas de :
Como queremos que vá para zero, vamos montar uma EDO que faça isso acontecer. Uma forma simples é usar uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes que garantam a estabilidade.

Passo 5

Sabemos que satisfaz uma EDO homogênea associada. Calculando as derivadas:
Vamos montar a EDO homogênea com base nessas derivadas.

Passo 6

Substituindo e suas derivadas na forma geral de uma EDO de segunda ordem:
Substituindo , e :
Agora, agrupamos os termos de e e igualamos a zero.

Passo 7

Agrupando:
Para que isso seja válido para todo , os coeficientes devem ser zero:
Resolvendo esse sistema de equações para e .

Passo 8

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo na expressão para :

Passo 9

Com os valores de e encontrados ( e ), a EDO fica:
Mas precisamos garantir que todas as soluções se aproximem de . Para isso, adicionamos um termo de amortecimento à EDO.

Passo 10

Adicionando um termo de amortecimento, por exemplo, , onde , para garantir que tenda a zero:
Assim, todas as soluções desse sistema vão se aproximar de conforme cresce.

Resposta

A EDO desejada é
onde é uma constante positiva que garante que todas as soluções se aproximem de quando cresce.

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