Calcule a curvatura: ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a curvatura da curva definida por . Curvatura é uma medida que nos diz o quão “curvada” está a trajetória em cada ponto. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de , que representa a velocidade da curva. Derivando cada componente:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada de , que está relacionada à aceleração da curva. Derivando :

Passo 4

Com e em mãos, vamos calcular o produto vetorial entre eles. O produto vetorial de dois vetores e é:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, vamos calcular o módulo (ou norma) desse produto vetorial:

Passo 6

Também precisamos do módulo de :

Passo 7

Por fim, a fórmula da curvatura é:

Resposta

A curvatura da curva é .

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Calcule a curvatura: ;