Calcule:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a segunda derivada de
. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra do produto e a regra da cadeia para derivar funções que são multiplicações umas das outras.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. Para isso, precisamos aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de dois fatores multiplicados é a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo.
Passo 3
Vamos derivar cada parte separadamente:
- A derivada de
é . Isso vem da regra de potências, onde derivamos para obter . - A derivada de
é . Aqui, usamos a regra da cadeia: derivamos a função exponencial em relação ao seu argumento e multiplicamos pela derivada desse argumento, que é .
Passo 4
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando, temos:
Passo 5
Para encontrar a segunda derivada
, vamos derivar
novamente. Observamos que
também é um produto de duas funções:
e
. Portanto, aplicamos novamente a regra do produto.
Passo 6
Derivando cada parte:
- A derivada de
é ou . - A derivada de
é (usando a regra de potências para ). - A derivada de
continua sendo .
Passo 7
Aplicando a regra do produto para
:
Passo 8
Simplificando os termos:
Passo 9
Agrupando os termos semelhantes:
Resposta
A segunda derivada é: