Calcule: d^2/dx^2 (raiz(x) * e^(-x^2)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a segunda derivada de . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra do produto e a regra da cadeia para derivar funções que são multiplicações umas das outras.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . Para isso, precisamos aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de dois fatores multiplicados é a derivada do primeiro vezes o segundo mais o primeiro vezes a derivada do segundo.

Passo 3

Vamos derivar cada parte separadamente:
  • A derivada de é . Isso vem da regra de potências, onde derivamos para obter .
  • A derivada de é . Aqui, usamos a regra da cadeia: derivamos a função exponencial em relação ao seu argumento e multiplicamos pela derivada desse argumento, que é .

Passo 4

Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando, temos:

Passo 5

Para encontrar a segunda derivada , vamos derivar novamente. Observamos que também é um produto de duas funções: e . Portanto, aplicamos novamente a regra do produto.

Passo 6

Derivando cada parte:
  • A derivada de é ou .
  • A derivada de é (usando a regra de potências para ).
  • A derivada de continua sendo .

Passo 7

Aplicando a regra do produto para :

Passo 8

Simplificando os termos:

Passo 9

Agrupando os termos semelhantes:

Resposta

A segunda derivada é:

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