Um tanque tem formato cônico, com altura de 10 m e raio de seu topo igual a 2 m. Se, em um determinado instante, a vazão com que o tanque está sendo preenchido é de 3 m^3 / min e o nível do líquido é de 5 m, a que taxa estará aumentando o nível do líquido nesse instante?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um tanque em formato de cone com altura de e raio de topo de . O tanque está sendo preenchido a uma taxa de e, no instante considerado, o nível do líquido está a de altura. Nosso objetivo é descobrir a que taxa o nível do líquido está aumentando nesse momento. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente taxas relacionadas e geometria dos cones.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula do volume de um cone, que é:
Onde:
  • é o volume,
  • é o raio da base,
  • é a altura do cone.
Aqui, o nível do líquido forma um cone menor dentro do tanque, então podemos usar essa fórmula para relacionar o volume do líquido com a altura atual .

Passo 3

Observando a geometria do problema, perceba que os cones (o do tanque e o do líquido) são semelhantes. Isso significa que as razões das medidas correspondentes são iguais. Então, temos:
Portanto, podemos expressar o raio do l��quido em função da altura :

Passo 4

Agora, substituímos na fórmula do volume para obter em termos de :
Então, a relação entre o volume do líquido e a sua altura é:

Passo 5

Queremos encontrar a taxa de variação da altura em relação ao tempo, ou seja, . Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação ao tempo :
Então, temos:

Passo 6

Sabemos que a vazão é e que no instante considerado, . Vamos substituir esses valores na equação:
Simplificando:

Passo 7

Agora, isolamos para encontrar a taxa de variação da altura:

Resposta

A taxa com que o nível do líquido está aumentando nesse instante é de .

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