Um tanque tem formato cônico, com altura de
e raio de seu topo igual a
. Se, em um determinado instante, a vazão com que o tanque está sendo preenchido é de
e o nível do líquido é de
, a que taxa estará aumentando o nível do líquido nesse instante?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um tanque em formato de cone com altura de
e raio de topo de
. O tanque está sendo preenchido a uma taxa de
e, no instante considerado, o nível do líquido está a
de altura. Nosso objetivo é descobrir a que taxa o nível do líquido está aumentando nesse momento. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente taxas relacionadas e geometria dos cones.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula do volume de um cone, que é:
Onde:
-
é o volume, -
é o raio da base, -
é a altura do cone.
Aqui, o nível do líquido forma um cone menor dentro do tanque, então podemos usar essa fórmula para relacionar o volume do líquido com a altura atual
.
Passo 3
Observando a geometria do problema, perceba que os cones (o do tanque e o do líquido) são semelhantes. Isso significa que as razões das medidas correspondentes são iguais. Então, temos:
Portanto, podemos expressar o raio
do l��quido em função da altura
:
Passo 4
Agora, substituímos
na fórmula do volume para obter
em termos de
:
Então, a relação entre o volume do líquido e a sua altura é:
Passo 5
Queremos encontrar a taxa de variação da altura em relação ao tempo, ou seja,
. Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação ao tempo
:
Então, temos:
Passo 6
Sabemos que a vazão
é
e que no instante considerado,
. Vamos substituir esses valores na equação:
Simplificando:
Passo 7
Agora, isolamos
para encontrar a taxa de variação da altura:
Resposta
A taxa com que o nível do líquido está aumentando nesse instante é de
.