Calcule, o limite, quando existir. Caso não exista, explique por quê.
lim x 0 raiz9+x-3x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . A matéria aqui é cálculo de limites, e pra resolver isso, a gente vai precisar de uma técnica chamada racionalização, que ajuda a simplificar expressões com raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de raiz9+x - 3x times raiz9+x + 3raiz9+x + 3 = (raiz9+x - 3)(raiz9+x + 3)x(raiz9+x + 3) é . Isso ajuda a eliminar a raiz do numerador.

Passo 3

Agora, vamos simplificar o numerador. Usando a identidade (raiz9+x)^2 - 3^2 = (9 + x) - 9 = x , temos:
xx(raiz9+x + 3)
Portanto, a expressão fica:

Passo 4

Os 1raiz9+x + 3 no numerador e no denominador se cancelam:

Passo 5

Agora, podemos calcular o limite substituindo 1raiz9+0 + 3 = 13 + 3 = 16 :

Resposta

O limite é .

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