Calcule d/ dt F e d^2 F / dt^2, em que:
F(t) = raiz_cubica(t^2) * i + cos^2(t) * j + 3t * k.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função vetorial que depende do tempo :
O objetivo é calcular a primeira derivada e a segunda derivada dessa função vetorial. Para isso, precisamos conhecer as regras de derivação para funções escalares e vetoriais.

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada . Para derivar uma função vetorial, derivamos cada componente separadamente em relação a .

Passo 3

Primeiro, derivamos a componente na direção :

Passo 4

Agora, derivamos a componente na direção :
Aqui usamos a regra da cadeia, onde a derivada de é vezes a derivada de , que é .

Passo 5

Por fim, derivamos a componente na direção :
A derivada de em relação a é simplesmente 3.

Passo 6

Juntando todas as componentes derivadas, temos a primeira derivada da função vetorial:

Passo 7

Agora, vamos calcular a segunda derivada derivando novamente cada componente da primeira derivada.

Passo 8

Derivando a componente na direção :

Passo 9

Derivando a componente na direção :
Usamos a regra do produto e as derivadas de e .

Passo 10

Derivando a componente na direção :
A derivada de uma constante é zero.

Passo 11

Juntando todas as componentes derivadas, temos a segunda derivada da função vetorial:

Resposta

A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:

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