Calcule
e
, em que:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função vetorial
que depende do tempo
:
O objetivo é calcular a primeira derivada
e a segunda derivada
dessa função vetorial. Para isso, precisamos conhecer as regras de derivação para funções escalares e vetoriais.
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada
. Para derivar uma função vetorial, derivamos cada componente separadamente em relação a
.
Passo 3
Primeiro, derivamos a componente na direção
:
Passo 4
Agora, derivamos a componente na direção
:
Aqui usamos a regra da cadeia, onde a derivada de
é
vezes a derivada de
, que é
.
Passo 5
Por fim, derivamos a componente na direção
:
A derivada de
em relação a
é simplesmente 3.
Passo 6
Juntando todas as componentes derivadas, temos a primeira derivada da função vetorial:
Passo 7
Agora, vamos calcular a segunda derivada
derivando novamente cada componente da primeira derivada.
Passo 8
Derivando a componente na direção
:
Passo 9
Derivando a componente na direção
:
Usamos a regra do produto e as derivadas de
e
.
Passo 10
Derivando a componente na direção
:
A derivada de uma constante é zero.
Passo 11
Juntando todas as componentes derivadas, temos a segunda derivada da função vetorial:
Resposta
A primeira derivada é:
E a segunda derivada é: