Prove que se
for contínua em
e se
, então existirá
tal que
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente provar que se uma função
é contínua em um ponto
e o valor da função nesse ponto é maior que zero, ou seja,
, então existe um raio
tal que para todos os pontos
que estão dentro dessa distância
de
, a função continua sendo maior que zero. Aqui, estamos lidando com conceitos de continuidade e limites em funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a função
ser contínua em
. Isso quer dizer que, para qualquer número pequeno
, existe um raio
tal que se
, então
. Ou seja, os valores de
ficam tão próximos de
quanto quisermos, se
estiver bem próximo de
.
Passo 3
No nosso caso, sabemos que
. Vamos chamar esse valor de
, onde
. Queremos mostrar que existe um raio
tal que
dentro desse raio. Para isso, podemos escolher
de forma adequada.
Passo 4
Vamos escolher
. Como
, então
também. Pela definição de continuidade, existe um
tal que se
, então:
Isso significa que
está dentro do intervalo
, ou seja:
Passo 5
Observamos que
, já que
. Isso implica que
para todos os
dentro do raio
.
Resposta
Portanto, existe um raio
tal que para todo
com
, temos
.