Prove que se f for contínua em (x0, y0) e se f(x0, y0) > 0, então existirá r > 0 tal que f(x, y) > 0 para ||(x, y) - (x0, y0)|| < r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente provar que se uma função é contínua em um ponto e o valor da função nesse ponto é maior que zero, ou seja, , então existe um raio tal que para todos os pontos que estão dentro dessa distância de , a função continua sendo maior que zero. Aqui, estamos lidando com conceitos de continuidade e limites em funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a função ser contínua em . Isso quer dizer que, para qualquer número pequeno , existe um raio tal que se , então . Ou seja, os valores de ficam tão próximos de quanto quisermos, se estiver bem próximo de .

Passo 3

No nosso caso, sabemos que . Vamos chamar esse valor de , onde . Queremos mostrar que existe um raio tal que dentro desse raio. Para isso, podemos escolher de forma adequada.

Passo 4

Vamos escolher . Como , então também. Pela definição de continuidade, existe um tal que se , então:
Isso significa que está dentro do intervalo , ou seja:

Passo 5

Observamos que , já que . Isso implica que para todos os dentro do raio .

Resposta

Portanto, existe um raio tal que para todo com , temos .

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