Dizemos que uma curva , com derivada contínua, está parametrizada pelo comprimento de arco se , para todo . Verifique que cada uma das curvas abaixo está parametrizada pelo comprimento de arco.
c)

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma curva onde . O que a gente precisa fazer é verificar se essa curva está parametrizada pelo comprimento de arco. Basicamente, isso significa que a velocidade com que percorremos a curva é sempre constante igual a 1.
Matéria envolvida: Parametrização pelo comprimento de arco, derivadas de vetores e norma de vetores.
O que vamos precisar: Calcular a derivada da curva em relação a , depois calcular a norma desse vetor derivada e ver se é igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da curva em relação a . A derivada nos dá a “velocidade” com que estamos andando na curva.
A curva é , então a derivada é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma desse vetor derivada . A norma de um vetor é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

Como a norma da derivada é igual a 1 para todo , isso confirma que a curva está parametrizada pelo comprimento de arco.

Exercícios relacionados

Calcule e ; em seguida calcule a reta tangente ao gráfico das funções dadas, no ponto
b) ;
Derive cada uma das funções dadas abaixo:
k)
Seja o domínio limitado pelas linhas retas , e . Avaliar as seguintes integrais:
(b) .