Dizemos que uma curva delta:[alpha, beta] -> R^n, com derivada contínua, está parametrizada pelo comprimento de arco se ||delta'(s)|| = 1, para todo s em [α, β]. Verifique que cada uma das curvas abaixo está parametrizada pelo comprimento de arco.
c) delta(s) = (s/raiz(5), 2s/raiz(5)), s ≥ 0

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma curva onde . O que a gente precisa fazer é verificar se essa curva está parametrizada pelo comprimento de arco. Basicamente, isso significa que a velocidade com que percorremos a curva é sempre constante igual a 1.
Matéria envolvida: Parametrização pelo comprimento de arco, derivadas de vetores e norma de vetores.
O que vamos precisar: Calcular a derivada da curva em relação a , depois calcular a norma desse vetor derivada e ver se é igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da curva em relação a . A derivada nos dá a “velocidade” com que estamos andando na curva.
A curva é , então a derivada é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a norma desse vetor derivada . A norma de um vetor é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

Como a norma da derivada é igual a 1 para todo , isso confirma que a curva está parametrizada pelo comprimento de arco.

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