Dizemos que uma curva
, com derivada contínua, está parametrizada pelo comprimento de arco se
, para todo
. Verifique que cada uma das curvas abaixo está parametrizada pelo comprimento de arco.
c)
c)
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é uma curva
onde
. O que a gente precisa fazer é verificar se essa curva está parametrizada pelo comprimento de arco. Basicamente, isso significa que a velocidade com que percorremos a curva é sempre constante igual a 1.
Matéria envolvida: Parametrização pelo comprimento de arco, derivadas de vetores e norma de vetores.
O que vamos precisar: Calcular a derivada da curva em relação a
, depois calcular a norma desse vetor derivada e ver se é igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada da curva
em relação a
. A derivada nos dá a “velocidade” com que estamos andando na curva.
A curva é
, então a derivada
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a norma desse vetor derivada
. A norma de um vetor
é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
Como a norma da derivada
é igual a 1 para todo
, isso confirma que a curva
está parametrizada pelo comprimento de arco.
Exercícios relacionados
Calcule
e
; em seguida calcule a reta tangente ao gráfico das funções dadas, no ponto
b) ;
b)
Derive cada uma das funções dadas abaixo:
k)
k)
Seja
o domínio limitado pelas linhas retas
, e
. Avaliar as seguintes integrais:
(b) .
(b)