Calcule d/ dt F e d^2 F / dt^2; em seguida calcule a reta tangente ao gráfico das funções dadas, no ponto (t0, F(t0))
c) F(t) = sen(5t) i + cos(4t) j - e^(-2t) k, t0 = pi / 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a primeira e a segunda derivada da função vetorial , e depois encontrar a reta tangente ao gráfico dessa função no ponto específico . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial aplicados a funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para derivar uma função vetorial, a gente deriva cada componente da função separadamente em relação a . A função dada é:
Então, vamos calcular a primeira derivada .

Passo 3

Derivando cada componente:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Então, a primeira derivada fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada . Para isso, vamos derivar novamente cada componente da primeira derivada.
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Então, a segunda derivada fica:

Passo 5

Agora que temos as derivadas, vamos calcular a reta tangente ao gráfico de no ponto . A reta tangente em um ponto é dada pela posição no ponto mais a velocidade vezes , onde a velocidade é a primeira derivada no ponto.
Primeiro, vamos encontrar :
Simplificando:
Sabemos que e , então:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a velocidade no ponto :
Simplificando:
Sabemos que e , então:

Passo 7

Agora, usamos a fórmula da reta tangente:
Substituindo os valores encontrados:
Simplificando:

Resposta

A reta tangente ao gráfico de no ponto é:

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