Calcule os limites. lim x 0 10 xraizx^2+3-raizx+3

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite de uma função quando limx 0 10xraizx^2 + 3 - raizx + 3 se aproxima de 0. A função é:
Aqui, estamos lidando com limites em cálculo, e para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de algebra para simplificar expressões racionais, como a racionalização.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o que acontece quando substituímos 10 times 0raiz0^2 + 3 - raiz0 + 3 = 0raiz3 - raiz3 = 00 diretamente na expressão:
A gente se depara com uma forma indeterminada . Isso significa que precisamos de uma técnica para simplificar essa expressão e encontrar o limite.

Passo 3

Uma boa técnica para resolver isso é racionalizar o denominador. Isso envolve multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do denominador. No nosso caso, o denominador é 10xraizx^2 + 3 - raizx + 3 times raizx^2 + 3 + raizx + 3raizx^2 + 3 + raizx + 3 , então a conjugada é .
Vamos multiplicar tanto o numerador quanto o denominador por essa conjugada:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar as expressões:
No numerador:
10x times (raizx^2 + 3 + raizx + 3) = 10x (raizx^2 + 3 + raizx + 3)
No denominador, usamos a identidade (raizx^2 + 3)^2 - (raizx + 3)^2 = (x^2 + 3) - (x + 3) = x^2 + 3 - x - 3 = x^2 - x :
10x (raizx^2 + 3 + raizx + 3)x^2 - x
Então, a expressão fica:

Passo 5

Vamos simplificar o denominador x^2 - x = x(x - 1) :
10x (raizx^2 + 3 + raizx + 3)x(x - 1)
Então, a expressão é:
10 (raizx^2 + 3 + raizx + 3)x - 1
Agora, podemos cancelar o do numerador com o do denominador:

Passo 6

Agora, vamos analisar o comportamento quando 10 (raiz0^2 + 3 + raiz0 + 3)0 - 1 = 10 (raiz3 + raiz3)-1 = 10 (2raiz3)-1 = 20raiz3-1 = -20raiz3 se aproxima de 0. Substituindo na nova expressão:

Resposta

O limite é .

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