Calcule os limites.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite de uma função quando
se aproxima de 0. A função é:
Aqui, estamos lidando com limites em cálculo, e para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de algebra para simplificar expressões racionais, como a racionalização.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o que acontece quando substituímos
diretamente na expressão:
A gente se depara com uma forma indeterminada
. Isso significa que precisamos de uma técnica para simplificar essa expressão e encontrar o limite.
Passo 3
Uma boa técnica para resolver isso é racionalizar o denominador. Isso envolve multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do denominador. No nosso caso, o denominador é
, então a conjugada é
.
Vamos multiplicar tanto o numerador quanto o denominador por essa conjugada:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar as expressões:
No numerador:
No denominador, usamos a identidade
:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Vamos simplificar o denominador
:
Então, a expressão é:
Agora, podemos cancelar o
do numerador com o
do denominador:
Passo 6
Agora, vamos analisar o comportamento quando
se aproxima de 0. Substituindo
na nova expressão:
Resposta
O limite é
.