Calcule.
(d) integral x(x+1)^5 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa questão está relacionada ao cálculo de integrais, especificamente usando a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma nova variável para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição. Observamos que o denominador é , então uma boa escolha é definir . Isso simplifica a integral porque o denominador vira .

Passo 3

Agora, vamos derivar du = dx para encontrar . Diferenciando ambos os lados, temos:
Isso significa que .

Passo 4

Vamos reescrever a integral em termos de integral x(x+1)^5 dx = integral u - 1u^5 du . Sabemos que , então substituindo na integral original:

Passo 5

Agora, vamos separar a fração:
integral uu^5 du - integral 1u^5 du = integral u^-4 du - integral u^-5 du

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que integral u^-4 du = u^-3-3 = -13u^3 , temos:
integral u^-5 du = u^-4-4 = -14u^4

Passo 7

Juntando os resultados das integrais:
-13u^3 + 14u^4 + C
Agora, substituímos -13(x+1)^3 + 14(x+1)^4 + C de volta para , lembrando que :

Resposta

A integral -13(x+1)^3 + 14(x+1)^4 + C é igual a:

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