Calcule.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre substituição (ou mudança de variável) para integrar funções mais complicadas. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que, ao ser substituída, simplifica a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da função que está dentro do parênteses: . Vamos chamar isso de :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir o na integral. Vamos derivar :

Passo 4

Na nossa integral original, temos multiplicado por . Vamos reescrever como para facilitar a substituição:

Passo 5

Agora, lembrando que , podemos substituir por . E também, da expressão que encontramos para , temos:

Passo 6

Substituindo tudo na integral original:

Passo 7

Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:

Passo 9

Simplificando os coeficientes:

Passo 10

Por fim, substituímos de volta por :

Resposta

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Mostre que e use isto para calcular .
Calcule.
Encontre a solução geral da equação dada.
Encontre a solução geral de cada equação dada utilizando o método dos coeficientes indeterminados:
.