Calcule.
(g) integral x^3(x^2+3)^10 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre substituição (ou mudança de variável) para integrar funções mais complicadas. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que, ao ser substituída, simplifica a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da função que está dentro do parênteses: u = x^2 + 3 . Vamos chamar isso de :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx em relação a para substituir o na integral. Vamos derivar :

Passo 4

Na nossa integral original, temos x^3 = x^2 cdot x multiplicado por . Vamos reescrever como para facilitar a substituição:

Passo 5

Agora, lembrando que x , dx = du2 , podemos substituir por . E também, da expressão que encontramos para , temos:

Passo 6

Substituindo tudo na integral original:
integral x^3(x^2+3)^10 dx = integral (x^2 cdot x) cdot u^10 dx = integral (u - 3) cdot u^10 cdot du2

Passo 7

Simplificando a expressão dentro da integral:
integral (u - 3) cdot u^10 cdot du2 = 12 integral (u^11 - 3u^10) du

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
12 ( integral u^11 du - 3 integral u^10 du ) = 12 ( u^1212 - 3 cdot u^1111 ) + C

Passo 9

Simplificando os coeficientes:
12 ( u^1212 - 3u^1111 ) = u^1224 - 3u^1122 + C

Passo 10

Por fim, substituímos (x^2 + 3)^1224 - 3(x^2 + 3)^1122 + C de volta por :

Resposta

integral x^3(x^2+3)^10 dx = (x^2 + 3)^1224 - 3(x^2 + 3)^1122 + C

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