Mostre que
e use isto para calcular
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que
e depois usar essa identidade para calcular a integral de
. Pra isso, vamos precisar entender um pouco sobre identidades trigonométricas, especialmente a fórmula do ângulo duplo.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que
. A gente sabe que existe uma identidade trigonométrica que relaciona
com
. A fórmula do ângulo duplo para o cosseno é:
Se a gente resolver essa equação para
, temos:
E aí está a prova de que
!
Passo 3
Agora que temos a identidade
, vamos usá-la para calcular a integral de
. Primeiro, vamos isolar
:
Então, a integral fica:
Podemos separar a integral:
Passo 4
Vamos calcular cada parte separadamente. A primeira integral é simples:
Para a segunda integral, usamos a regra da integral de
, que é:
Aplicando isso:
Passo 5
Agora, juntando as duas partes:
Podemos simplificar um pouco:
Resposta
A integral de
é:
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Calcule.
Encontre a solução geral da equação dada.