Mostre que 2 sen^2 x=1-cos (2 x) e use isto para calcular integral sen^2 x d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que e depois usar essa identidade para calcular a integral de . Pra isso, vamos precisar entender um pouco sobre identidades trigonométricas, especialmente a fórmula do ângulo duplo.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que cos(2x) = 1 - 2 sin^2 x . A gente sabe que existe uma identidade trigonométrica que relaciona 2 sin^2 x = 1 - cos(2x) com . A fórmula do ângulo duplo para o cosseno é:
Se a gente resolver essa equação para , temos:
E aí está a prova de que !

Passo 3

Agora que temos a identidade sin^2 x = 1 - cos(2x)2 , vamos usá-la para calcular a integral de integral sin^2 x , dx = integral 1 - cos(2x)2 , dx . Primeiro, vamos isolar = 12 integral 1 , dx - 12 integral cos(2x) , dx :
Então, a integral fica:
Podemos separar a integral:

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente. A primeira integral é simples:
12 integral 1 , dx = 12 x
Para a segunda integral, usamos a regra da integral de integral cos(kx) , dx = sin(kx)k + C , que é:
12 integral cos(2x) , dx = 12 cdot sin(2x)2 = sin(2x)4
Aplicando isso:

Passo 5

Agora, juntando as duas partes:
integral sin^2 x , dx = 12 x - sin(2x)4 + C
Podemos simplificar um pouco:
= x2 - sin(2x)4 + C

Resposta

A integral de integral sin^2 x , dx = x2 - sin(2x)4 + C é:

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