Mostre que e use isto para calcular .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que e depois usar essa identidade para calcular a integral de . Pra isso, vamos precisar entender um pouco sobre identidades trigonométricas, especialmente a fórmula do ângulo duplo.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que . A gente sabe que existe uma identidade trigonométrica que relaciona com . A fórmula do ângulo duplo para o cosseno é:
Se a gente resolver essa equação para , temos:
E aí está a prova de que !

Passo 3

Agora que temos a identidade , vamos usá-la para calcular a integral de . Primeiro, vamos isolar :
Então, a integral fica:
Podemos separar a integral:

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente. A primeira integral é simples:
Para a segunda integral, usamos a regra da integral de , que é:
Aplicando isso:

Passo 5

Agora, juntando as duas partes:
Podemos simplificar um pouco:

Resposta

A integral de é:

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Encontre a solução geral da equação dada.