Calcule.
(f) integral x^2raizx+1 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular a integral indefinida de x^2raizx+1 em relação a x. Esse exercício pertence ao conteúdo de cálculo integral, mais especificamente de integração de funções racionais com raízes. Para resolver, vamos precisar usar o método de substituição e simplificar a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição para simplificar a integral. Note que o denominador é raizx+1, então vamos definir uma nova variável u igual a x + 1. Assim:
u = x + 1

Passo 3

Derivando ambos os lados em relação a x, temos:
du = dx
Isso significa que dx = du. Além disso, podemos expressar x em termos de u:
x = u - 1

Passo 4

Vamos substituir x e dx na integral original:
integral (u - 1)^2raizu du
Agora, vamos expandir (u - 1)^2:
(u - 1)^2 = u^2 - 2u + 1
Substituindo na integral:
integral u^2 - 2u + 1raizu du

Passo 5

Agora, vamos separar a fração:
integral ( u^2raizu - 2uraizu + 1raizu ) du
Simplificando cada termo:
integral ( u^2 - 1/2 - 2u^1 - 1/2 + u^-1/2 ) du = integral ( u^3/2 - 2u^1/2 + u^-1/2 ) du

Passo 6

Agora, vamos integrar termo por termo:
  1. integral u^3/2 du = u^5/252 = 25u^5/2
  2. integral -2u^1/2 du = -2 cdot u^3/232 = -43u^3/2
  3. integral u^-1/2 du = u^1/212 = 2u^1/2

Passo 7

Somando os resultados das integrais:
25u^5/2 - 43u^3/2 + 2u^1/2 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 8

Agora, substituímos u por x + 1 para retornar à variável original:
25(x + 1)^5/2 - 43(x + 1)^3/2 + 2(x + 1)^1/2 + C

Resposta

A integral de x^2raizx+1 dx é:
25(x + 1)^5/2 - 43(x + 1)^3/2 + 2(x + 1)^1/2 + C

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