Calcule.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular a integral indefinida de em relação a . Esse exercício pertence ao conteúdo de cálculo integral, mais especificamente de integração de funções racionais com raízes. Para resolver, vamos precisar usar o método de substituição e simplificar a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição para simplificar a integral. Note que o denominador é , então vamos definir uma nova variável igual a . Assim:

Passo 3

Derivando ambos os lados em relação a , temos:
Isso significa que . Além disso, podemos expressar em termos de :

Passo 4

Vamos substituir e na integral original:
Agora, vamos expandir :
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, vamos separar a fração:
Simplificando cada termo:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo por termo:

Passo 7

Somando os resultados das integrais:
onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, substituímos por para retornar à variável original:

Resposta

A integral de é:

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