Calcule:
(d) lim x pi4 cos x-sen xtg x-1

Passo 1

Então, temos que calcular o limite quando se aproxima de para a expressão . Vamos usar conceitos de limites em funções trigonométricas e, possivelmente, a regra de L’Hospital, que é útil quando encontramos indeterminações como .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o comportamento da função quando cos(pi4) = raiz22, sin(pi4) = raiz22, tan(pi4) = 1 se aproxima de cos(pi4) - sin(pi4) = raiz22 - raiz22 = 0 . Substituindo tan(pi4) - 1 = 1 - 1 = 0 :
Então, o numerador fica:
E o denominador:
Obtivemos a forma indeterminada , o que nos permite aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 3

A regra de L’Hospital nos diz que, se o limite resulta em ddx (cos x - sin x) = -sin x - cos x ou ddx (tan x - 1) = sec^2 x , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente. Vamos derivar:
Derivada do numerador limx pi4 -sin x - cos xsec^2 x :
Derivada do denominador :
Então, o limite fica:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão. Lembrando que -sin x - cos xsec^2 x = (-sin x - cos x) cdot cos^2 x , temos sin(pi4) = raiz22, cos(pi4) = raiz22 . Substituindo na expressão:
(-raiz22 - raiz22) cdot (raiz22)^2 = (-raiz2) cdot (24) = -raiz2 cdot 12 = -raiz22
Agora, substituímos :
Substituindo na expressão:

Resposta

O limite é .

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