Calcule:
(d)
(d)
Passo 1
Então, temos que calcular o limite quando
se aproxima de
para a expressão
. Vamos usar conceitos de limites em funções trigonométricas e, possivelmente, a regra de L’Hospital, que é útil quando encontramos indeterminações como
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o comportamento da função quando
se aproxima de
. Substituindo
:
Então, o numerador fica:
E o denominador:
Obtivemos a forma indeterminada
, o que nos permite aplicar a regra de L’Hospital.
Passo 3
A regra de L’Hospital nos diz que, se o limite resulta em
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente. Vamos derivar:
Derivada do numerador
:
Derivada do denominador
:
Então, o limite fica:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão. Lembrando que
, temos
. Substituindo na expressão:
Agora, substituímos
:
Substituindo na expressão:
Resposta
O limite é
.